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Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

IME, Cálculo 2, 2017, VE1, Q3

Uma partícula se move com vetor posição:

r t = t P + t 2 Q + 2 2 t 3 3 2 P × Q

Onde P e Q são vetores unitários fixos que formam entre si um ângulo de π 3 r a d . Calcule a velocidade instantânea da partícula no tempo t e determine quanto tempo ela leva para percorrer uma distância de 12 unidades de comprimento de arco a partir da posição inicial r ( 0 ) .

Passo 1

Se acheguem, meus anjos, comece do comprimento de arco em sua definição. O comprimento percorrido a partir de t = 0 é dado por:

s t = ∫ 0 t | |   r → ' t | | d t

= ∫ 0 t r → ' ⋅ r → ' d t

Onde derivando a posição, obtemos a velocidade instantânea no tempo t :

v → t = r → ' = t P + t 2 Q + 2 2 t 3 3 2 P × Q '

= P + 2 t   Q + 2 2 3 3 2 ⋅ 3 2 t 1 2   P × Q =

= P + 2 t   Q + 2 2 3 1 2 t 1 2   P × Q

Logo,

r → ' ⋅ r → ' = P 2 + 4 t 2 | |   Q | ​ 2 + 4 ⋅ 2 3 t   P × Q 2 +

+ 2 ⋅ 2 2 3 1 2 t 1 2   P × Q ⋅ P + 2 t   Q + 2 t   P ⋅ Q

Contudo, por serem ortogonais, P × Q ⋅ P = P × Q ⋅ Q = 0 . Por serem P , Q unitários, temos:

P 2 = 1 Q 2 = 1 | P × Q ​ 2 = | P ​ 2 | Q ​ 2 sin 2 ⁡ π 3 = 3 / 4   P ⋅ Q = N M cos ⁡ π 3 = 1 / 2

Logo,

r → ' ⋅ r → ' = 1 + 4 t 2 + 8 3 ⋅ 3 4 t + 4 t ⋅ 1 2

= 1 + 4 t + 4 t 2

Passo 2

Aplicando este resultado no comprimento de arco, temos considerando o tempo t não-negativo:

s t = ∫ 0 t 1 + 4 t + 4 t 2 d t =

= ∫ 0 t 1 + 2 t 2 d t =

= ∫ 0 t 1 + 2 t d t = t + t 2 0 t

= t + t 2

Passo 3

Queremos agora, determinar qual t > 0 satisfaz:

s t = 12

Contudo, para t > 0 , s é estritamente crescente ( s ' = 2 t + 1 > 0 ) e, portanto, injetora. Dessa forma, se encontrarmos algum valor positivo que satisfaça este deve ser o único. Observe que:

t + t 2 = 12 ⇒ t ( t + 1 ) = 3 ( 3 + 1 )

Claramente, t = 3 satisfaz a expressão acima, logo o corpo leva

t = 3

Unidades de tempo para percorrer 12 unidades de comprimento.

Resposta

v → t = P + 2 t   Q + 2 2 3 1 2 t 1 2   P × Q

t = 3

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