Em cada item abaixo, determine se F = F é ou não um campo gradiente no domínio indicado D. Em caso afirmativo, determine um potencial de F.

c) F(x, y) = (2*x^2 + 8*x*y^2) î + (3*x^3*y - 3*x*y) j - (4*z^2*y^2 + 2*x^3*z), k^, D = R^3

Passo 1

Olá meu amigo, tudo bem? Yuri aqui e vamos antes de tudo calcular o rotacional deste campo e vermos se ela é conservativa ou não.

r o t   F = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 2 x 2 + 8 x y 2 3 x 3 y - 3 x y 4 z 2 y 2 + 2 x 3 z

Passo 2

Calculando o determinante

= ∂ ∂ y 4 z 2 y 2 + 2 x 3 z - ∂ ∂ z 3 x 3 y - 3 x y î + ∂ ∂ z 2 x 2 + 8 x y 2 - ∂ ∂ x 4 z 2 y 2 - 2 x 3 z j ^ + ∂ ∂ y 2 x 2 + 8 x y 2 - ∂ ∂ x 3 x 3 y - 3 x y

= 8 z 2 y - 0 î + 0 - 6 x 2 z j ^ + 16 x y - 9 x 2 y + 3 y ≠ 0

Como temos que o nosso rotacional é diferente de zero, então o campo não é conservativo.

Resposta

Não conservativo

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