Calcule ∫ γ x ³ y ² z d z onde

γ ( t ) = ( 2 t , t ² , t ² )   ;   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular ∫ γ x ³ y ² z d z e

γ ( t ) = ( 2 t , t ² , t ² )   ;   0 ≤ t ≤ 1

Lembram como calculamos esse tipo de integral?

Suponha que temos a curva

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

E o campo vetorial, F ( x , y , z ) = ( a ( x , y , z ) , b ( x , y , z ) , c ( x , y , z ) ) . Então,

∫ γ F d r = ∫ γ F γ ' ( t ) = ∫ a b a ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) x ' ( t ) + b ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) y ' ( t ) + c ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) z ' ( t )

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

γ ( t ) = ( 2 t , t ² , t ² )   ;   0 ≤ t ≤ 1

então,

x = 2 t

y = t ²  

z = t ²  

Além disso,

γ ' ( t ) = ( 2,2 t , 2 y )

Logo, ( d x , d y , d z ) = ( 2,2 t , 2 t )

Então nossa integral fica

∫ γ x ³ y ² z d z = ∫ 0 1 8 t ³ * t ⁴ * t ² * 2 t d t

= 16 ∫ 0 1 t 10 d t

Passo 3

16 ∫ 0 1 t 10 d t

Integrando

= 16 t 11 / 11   | t = 1 t = 0

aplicando os limites de integração, concluímos que

∫ γ x ³ y ² z d z = 16 / 11

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 16 / 11

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