O trabalho realizado pelo campo sobre um projeto que se move ao longo de uma curva onde é:

Para calcular o rotacional do campo vamos calcular o determinante da seguinte matriz:

Agora substituindo os elementos do nosso campo temos que:

Como queremos saber os números que multiplica os versores canônicos , iremos utilizar a regra de Laplace e veremos que o vetor rotacional é .

Opa, rotacional é nulo. Além disso, vemos que não existe nenhuma descontinuidade no nosso campo .

Segundo o Teorema de Green podemos afirmar que nosso campo é conservativo.

Sendo assim, temos que:

Sendo um campo escalar, chamado de função potencial. Utilizando o campo fornecido temos a seguinte igualdade:

Portanto temos o seguinte sistema de equações diferenciais:

Agora precisamos resolver os sistemas de equações para encontrar , para isso vamos primeiramente integrar última por ser mais simples.

Só que você tem que ligar uma coisinha, lembra o que as derivadas são parciais né?

Então, tanto o quanto o são constantes em relação a . Aí precisamos escrever a constante de integração assim:

Agora vamos derivar em relação a y.

Agora vamos igualar a segunda equação:

Agora vamos integrar em relação a y, assim temos que:

Lembrando, estamos em relação a . A constante ainda pode depender de portanto temos que:

Derivando em relação a e igualando a primeira equação temos que:

Logo, temos que:

Integrando em relação a temos que:

agora podemos afirmar que a função potencial é igual a:

realizando as operações, temos que:

Agora que temos a função potencial precisamos encontrar o ponto inicial e final da questão.

Para o ponto inicial, temos que . Sendo assim:

Já para encontrar o ponto final, vamos aplicar o extremo do parâmetro . Onde , gerando o seguinte ponto:

Agora vamos aplicar na função potencial:

Aplicando o potencial no segundo ponto:

Uma vez que o campo é conservativo, o trabalho que é calculado pela integral de linha se torna: