Calcule a integral de linha ∫ C F ⋅ d r , onde C é dada pela função vetorial:

F   ( x ,   y )   =   x y   î   +   3 y ²   ĵ , r   ( t )   =   11 t ⁴   î   +   t ³   ĵ ,   0   ≤   t   ≤   1

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para calcular a integral de linha do campo vetorial F ao longo da curva r parametrizada pelo parâmetro real t. Para calcular uma integral de linha, precisamos fazer o produto escalar entre os vetores definidos por F a cada ponto com um vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva parametrizada, que pode ser escrito como

d r = d r d t d t

Então, precisamos calcular o vetor velocidade tangente à curva parametrizada derivando as componentes de r(t) em relação à t:

v = d r d t = d d t 11 t ⁴ ,   t ³ = d d t ( 11 t ⁴ ) ,   d d t ( t ³ ) = ( 44 t ³ ,   3 t ² )

Além disso, o campo vetorial F, para cada ponto de coordenadas (x,y), nos retorna um vetor de componentes

F ( x , y ) = ( x y ,   3 y ² )

Portanto, ao longo da curva r(t), onde os pontos x(t) e y(t) são dados pela expressão (11t⁴, t³), temos que os vetores do campo vetorial F assumem a forma

F ( x ( t ) ,   y ( t ) ) = 11 t ⁴ × t ³ ,   3 ( t ³ ) ² = 11 t ⁷ , 3 t ⁶

Então, como a integral de linha é a integral do produto escalar de F com dr, temos que a nossa integral de linha pode ser escrita como

∫ 0 1 F x ⋅ v x d t + F y ⋅ v y d t = ∫ 0 1 ( 11 t ⁷ ) ( 44 t ³ ) + ( 3 t ⁶ ) ( 3 t ² ) d t

Agora, a gente só precisa integrar a expressão acima. Então vamos lá!

Passo 2

Reescrevendo a integral de linha, obtemos:

∫ 0 1 F ⋅ d r = ∫ 0 1 ( 11 t ⁷ ) ( 44 t ³ ) + ( 3 t ⁶ ) ( 3 t ² ) d t = ∫ 0 1 484 t ¹ ⁰ + 9 t ⁸ d t

Como a integral de um polinômio t n é simplesmente t n + 1 n + 1 e como a integral de uma soma de funções é simplesmente a soma das integrais de cada termo, temos

∫ 0 1 F ⋅ d r = ∫ 0 1 484 t ¹ ⁰ + 9 t ⁸ d t = 484 1 ¹ ¹ 11 + 9 1 ⁹ 9 = 44 + 1 = 45

Resposta

∫ C F ⋅ d r = 45

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