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Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Teorema de Stokes

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando (atenção: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no item respectivo).

Se f e g são campos escalares de classe C 2 em R 3 , então ∇ . ∇ f × ∇ g = 0 .

Passo 1

Vamos lá, termo por termo. Primeiro vamos encontrar quem são ∇ f e ∇ g :

∇ f = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z f x , y , z = f x , f y , f z

O mesmo para g :

∇ g = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z g x , y , z = g x , g y , g z

Passo 2

Agora vamos resolver esse produto vetorial ∇ f × ∇ g :

∇ f × ∇ g = i j k f x f y f z g x g y g z

∇ f × ∇ g = f y g z - f z g y , - f x g z + f z g x , f x g y - f y g x

Passo 3

Agora, fazemos o produto escalar de fora:

∇ . ∇ f × ∇ g = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z . f y g z - f z g y , - f x g z + f z g x , f x g y - f y g x

∇ . ∇ f × ∇ g = f y g z x - f z g y x - f x g z y + f z g x y + f x g y z - f y g x z

Calma que já vai melhorar isso aí:

= f x y g z + f y g x z - f x z g y + f z g x y - f x y g z + f x g z y + f y z g x + f z g x y + f x z g y + f x g y z - f y z g x + f y g x z =

(aqui aplicamos aquela regra para derivada do produto, ok? É a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo)

= f x y g z + f y g x z - f x z g y - f z g x y - f x y g z - f x g z y + f y z g x + f z g x y + f x z g y + f x g y z - f y z g x - f y g x z = 0

Expandindo isso aí:

Todos os termos se cancelam no final e temos, de fato, ∇ . ∇ f × ∇ g = 0 , portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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