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Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 25e

Calcule

e) ∫ γ - y x 2 + 2 y 2 d x + x x 2 + 2 y 2 d y onde γ é a circunferência de centro 0,1 e raio 3, percorrida no sentido horário. O campo F é conservativo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Olá amigo, Yuri aqui e agora iremos resolver essa integral de linha pelo caminho dado. Infelizmente, ao vermos o caminho de γ , temos uma indeterminação no centro ( 0,0 ) o que nos impede de utilizar o Teorema de Green de cara. Então teremos que utilizar de uma circunferência no centro que está nos dando problema, de sentido contrário do de γ para possamos utilizar o Teorema de Green.

Passo 2

Vamos calcular primeiro o rotacional de F

r o t   F = - x 2 - 2 y 2 x 2 + 2 y 2 2 - - x 2 + 2 y 2 x 2 + 2 y 2 2 = 0

Então o que temos é

∫ γ i ∪ σ F ∙ d r = ∫ γ i F ∙ d r + ∫ σ F ∙ d r = ∫ ∫ 0 d x d y ↔ ∫ γ i F ∙ d r = - ∫ σ F ∙ d r

Sendo σ t = r cos ⁡ t , sin ⁡ t 2 ,   t ∈ 0,2 π

∫ σ F ∙ d r = ∫ 0 2 π lim r → 0 + ⁡ - r sin ⁡ t 2 r 2 - r sin ⁡ t d t + r cos ⁡ t r 2 r cos ⁡ t d t 2

= ∫ 0 2 π 1 2 d t = 2 π 2 = 2 π

Portanto

∫ γ i F ∙ d r = - 2 π

Passo 3

Em seu domínio mais amplo, F não é conservativo embora o ratacional seja zero, pois o domínio de F não simplesmente conexo e ∫ γ i F ∙ d r = 0 ,   ∀   γ i tal que a região interna à γ i contenha o ponto 0,0

Resposta

∫ γ i F ∙ d r = - 2 π

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