Em cada item abaixo, determine se F é ou não um campo gradiente no domínio indicado D. Em caso afirmativo, determine um potencial de F.

f) F(x, y, z) = (-y * i + x * j) / (x^2 + y^2) , D = R^2 - {0,0}

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e agora iremos resolver essa questão. Antes de tudo iremos calcular o rotacional de F .

r o t F = ( - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 - - x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 = 0

E D não é um conjunto simplesmente conexo, logo, F só sera conservativo se ∫ γ i F ∙ d r = 0 ,   ∀   γ i cuja região interior k i contenha o ponto de singularidade, que, neste caso, é a ( 0,0 ) .

Passo 2

Para σ t = r cos ⁡ t ,   r sin ⁡ t ,   r → 0 + ,   t ∈ 0,2 π

∫ γ ∪ σ F ∙ d r = - ∫ σ F ∙ d r

∫ σ F ∙ d r = ∫ σ - y d x + x d y x 2 + y 2 = ∫ 0 2 π lim r → 0 + ⁡ r 2 sin 2 ⁡ t + r 2 cos 2 ⁡ t r 2 d t = 2 π

Então F não é conservativo, pois r o t   F = 0 , mas ∫ γ i F ∙ d r = - 2 π   ≠ 0 , ∀ γ i   c u j a   k i ⊄ D

Resposta

Não conservativo

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