UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 3, AV1 - 2022.1, Questão 5
Calcule o trabalho realizado pelo campo de força em uma partícula que se move ao longo da parábola de até .
Passo 1
Oiiie, tudo bem?
A questão nos dá um campo vetorial
e pede para que calculemos o trabalho realizado por uma força que tem o mesmo formato para levar uma partícula do ponto até o ponto ao longo da parábola
Existem diferentes maneiras de fazermos este problema! Mas vamos tentar aplicar a definição de uma integral de linha
em que é a parametrização da parábola dada no problema! Vamos lá!
Passo 2
Vamos parametrizar a nossa parábola, temos que
A derivada desta parametrização é dada por
Para escrevermos nossa integral, ainda precisaremos saber quais são os limites de integração! Temos que o caminho desejado vem de até , é direto identificar uma vez que , que os limites de integração vão de até , e então, nosso trabalho será dado por
Vamos avaliar o produto escalar! E tentar resolver a nossa integral! Bora lá!
Passo 3
Avaliando o produto escalar, temos que
Ou, simplesmente, temos que
Ambas as integrais tem uma aparência meio amedrontadora, mas podem ser resolvidas por substituição simples de variáveis! Note que os termos de podem ser derivados para se obter , portanto, se fizermos
e
Podemos escrever cada uma das integrais como
Estas duas integrais são bem mais simples de resolver que nosso problema original! Vamos trabalhar em cima delas!
Passo 4
Usando primeiramente que e que , podemos identificar a seguinte primitiva
que avaliando os limites, resulta em
Agora, a segunda integral pode ser identificada como
Ou seja, o trabalho realizado é
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!