UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 4
Determine o trabalho realizado pelo campo de força sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta de (0, 0, 1) a (2, 1, 0).
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão nos pede para determinar o trabalho realizado sobre uma partícula por uma força F ao longo de um segmento de reta. Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta que liga os pontos (0,0,1) e (2,1,0). Escrevendo uma curva de um parâmetro t:
Temos que os pontos inicial e final dessa curva são, respectivamente, (0,0,1) e (2, 1, 0). Agora, precisamos descobrir qual forma o campo vetorial F assume sobre a curva. Como sobre a curva os pontos (x, y, z) são da forma (), temos que as componentes da força sobre a partícula ao longo da curva é:
Então, para calcular a integral de linha, só precisamos integrar o produto escalar da força F(t) com um deslocamento infinitesimal dr ao longo da curva. Calculando o vetor tangente à curva r(t):
Podemos escrever o deslocamento infinitesimal dr como
Ótimo! Agora já podemos montar a nossa integral de linha. Então vamos lá calcular o produto escalar!
Passo 2
Agora que temos tanto a força quanto o deslocamento em função do parâmetro t, podemos escrever a integral de linha que nos dará o trabalho realizado sobre a partícula integrando o produto das componentes x da força vezes a componente x do deslocamento mais a componente y da força vezes a componente y do deslocamento e assim por diante. Assim, obtemos
Resolvendo essa integral, obtemos: