UFAM– Cálculo 2 – P3 – Questão 7
Verifique se o campo vetorial
É conservativo ou não. Caso afirmativo, determine uma função tal que
Passo 1
Oi, tudo bem?
O problema nos deu esse campo vetorial
E nos perguntou se é conservativo. Mas, como determinar de um campo é conservativo ou não?
Fazendo seu rotacional!
Se o rotacional de um campo vetorial for zero, significa dizer que esse campo é conservativo e que podemos associar a ele uma função potencial do tipo:
Ou seja, as componentes do campo vetorial são as derivadas parciais desse potencial!
Então nossa missão é: encontrar o rotacional de , se for diferente se zero ele não é conservativo. Mas se o resultado for o vetor nulo, então aí precisamos encontrar a função !
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos calcular o rotacional de :
Lembra que precisamos fazer aquele produto vetorial:
Agora precisamos resolver o determinante:
Tranquilo até aqui?
Como o rotacional desse campo é zero, então sabemos que podemos associar a ele um potencial do tipo
e nossa missão agora passa a ser encontrar esse !
Passo 3
Agora vamos igualar nosso campo vetorial às parciais de :
E lembrando que nosso campo é:
Então daqui temos três equações:
Para encontrar a o método é o seguinte: integrar a primeira equação em : vamos achar . Mas como ela é a derivada parcial de em , tudo que seria em não está aí!
Aí entra o segundo passo: derivar a que encontramos em relação a e igualar com a expressão da segunda equação. E achar quem é a derivada da função “escondida” em , integrar em e achar quem é ela. E depois?
Depois repetir esse processo para . Pois quando encontrarmos para , ainda podemos ter uma parte em que não conhecemos.
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 4
Voltando para a parcial de em :
Agora integrando em vamos ter nossa :
Lembra que quando temos a parcial em uma variável, as outras são tratadas como se fossem números, e, portanto, sua derivada é zero.
Passo 5
Agora que temos a função, nos resta determinar quais são as outras que estão “escondidas”. Vamos derivar nossa em relação a :
E agora comparar com a segunda equação que encontramos no passo 3:
Igualando as duas temos:
Integrando em relação à teremos uma das duas funções “escondidas”, e nossa estará a um passo de estar mais completa!
Beleza? Sempre que derivamos parcialmente em relação a uma variável, a parte que depende apenas da outra “some”. Nesse caso a função é de , mas como temos a parcial dela em , podemos ter perdido alguma coisa que seja apenas de .
E nossa era assim:
E está assim agora:
Precisamos encontrar que função é a !
Passo 6
Lembrando que temos 3 equações lá do passo 3, e só usamos 2! Ainda sobrou uma para utilizarmos:
Mas a função que temos até agora é:
Então a ideia é derivar em relação a e igualar com a terceira equação do passo 3.
Vamos lá?
Derivando em relação a e igualando:
Daqui temos que
Sendo uma constante!
Por simplicidade podemos dizer que ! E agora sim temos nossa função potencial :
Ufa! Agora sim! Terminamos! Espero ter ajudado!
Obs.: para verificar se essa função potencial está correta mesmo, verifica se
Ou seja, aplica o gradiente em e verifica se o resultado é o campo vetorial dado lá no começo do problema. Se for igual, tua nota 10 está garantida!
Até próxima!