UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 2b
Calcule a integral de linha , onde C é dada pela função vetorial:
,
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão nos pede para calcular a integral de linha do campo vetorial F ao longo da curva r parametrizada pelo parâmetro real t. Para calcular uma integral de linha, precisamos fazer o produto escalar entre os vetores definidos por F a cada ponto com um vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva parametrizada, que pode ser escrito como:
Então, precisamos calcular o vetor velocidade tangente à curva parametrizada derivando as componentes de r(t) em relação à t:
Além disso, o campo vetorial F, para cada ponto de coordenadas (x,y,z), nos retorna um vetor de componentes
Portanto, ao longo da curva r(t), onde os pontos x(t), y(t) e z(t) são dados pela expressão (cos t, sen t, t), temos que os vetores do campo vetorial F assumem a forma
Então, como a integral de linha é a integral do produto escalar de F com dr, temos que a nossa integral de linha pode ser escrita como
Agora, a gente só precisa integrar a expressão acima. Então vamos lá!
Passo 2
Como o primeiro e o segundo termo da integral são iguais e com sinais opostos, temos que a integral de linha é apenas
Sabendo que a derivada de sen²t é 2 sen(t)cos(t), temos que o resultado da integral acima é
Portanto, a integral de F ao longo da curva parametrizada por t, de 0 à é 0.
Resposta