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Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 23h

Em cada item abaixo, determine se F é ou não um campo gradiente no domínio indicado D. Em caso afirmativo, determine um potencial de F.

h) F x , y , z = x î + y j ^ x 2 + y 2 ,   D = R 2 - 0,0

Passo 1

Olá amigo, Yuri aqui e agora iremos resolver o problema. Antes de tudo iremos calcular o rotacional de F

r o t   F = ∂ ∂ x y x 2 + y 2 - ∂ ∂ y x x 2 + y 2 = - 2 x y x 2 + y 2 2 - - 2 x y x 2 + y 2 2 = 0

D não é um conjunto simplesmente conexo, então, pelo Teorema de Green, adaptado para regiões vazadas.

Sejam γ i , uma curva plana e fechada qualquer |   γ i   ⊂ D ,   k i a região interior à γ i   |   k i   ⊄ D e α a curva que isola o ponto de singularidade na proporção do denominador de F, tem-se que:

α = r cos ⁡ t , sin ⁡ t

r → 0 +

t ∈ 0,2 π

Passo 2

Calculando aqui a integral de linha da junção de γ i ∪ α

∫ γ i ∪ α F ∙ d r = ∫ γ i F ∙ d r + ∫ α F ∙ d r = - ∫ ∫ k i 0 d x d y

∫ γ i F ∙ d r = - ∫ α F ∙ d r   ( i )

∫ α F ∙ d r = ∫ α 1 x 2 + y 2 x , y ∙ d α = ∫ 0 2 π lim r → 0 + ⁡ 1 r 2 r cos ⁡ t ,   r sin ⁡ t ∙ - r sin ⁡ t ,   r cos ⁡ t d t

∫ 0 2 π lim r → 0 + ⁡ 1 r 2 - r 2 ∙ cos ⁡ t sin ⁡ t + r 2 cos ⁡ t sin ⁡ t d t = ∫ 0 2 π lim r → 0 + ⁡ 0 d t = 0

Portanto, sendo r o t F = 0 e ∫ γ i F ∙ d r = 0 ,   ∀   γ i   |   k i   ⊄ D F é um campo conservativo.

Passo 3

Agora é nossa hora de encontrar o potencial.

∇ φ = F ↔ ∂ φ ∂ x = x x 2 + y 2 ∂ φ ∂ y = y x 2 + y 2

Integrando

φ = ∫ x x 2 + y 2 d x = ∫ x u ∙ d u 2 x = 1 2 ln ⁡ u + k y = 1 2 ln ⁡ x 2 + y 2 + k ( y )

Para

∂ φ ∂ y = 1 2 ∙ 1 x 2 + y 2 2 y + ∂ ∂ y k y = y x 2 + y 2 + ∂ ∂ y k y ↔ y x 2 + y 2 + ∂ ∂ y k y = y x 2 + y 2

Então

∂ k y ∂ y = 0

φ x , y = 1 2 ln ⁡ x 2 + y 2 + k

Resposta

φ x , y = 1 2 ln ⁡ x 2 + y 2 + k

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