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Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 6d

Calcule ∫ γ z ² d x - z d y + 2 y d z onde

γ consiste dos segmentos de retas ( 0 ,   0 ,   0 )   a   ( 0 ,   1 ,   1 ) ,   d e   ( 0 ,   1 ,   1 )   a   ( 1 ,   2 ,   3 )   e   d e   ( 1 ,   2 ,   3 ) a   ( 1 ,   2 ,   4 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular e ∫ γ z ² d x - z d y + 2 y d z onde

γ consiste dos segmentos de retas ( 0 ,   0 ,   0 )   a   ( 0 ,   1 ,   1 ) ,   d e   ( 0 ,   1 ,   1 )   a   ( 1 ,   2 ,   3 )   e   d e   ( 1 ,   2 ,   3 ) a   ( 1 ,   2 ,   4 ) .

Lembram como calculamos esse tipo de integral?

Suponha que temos a curva

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

E o campo vetorial, F ( x , y , z ) = ( a ( x , y , z ) , b ( x , y , z ) , c ( x , y , z ) ) . Então,

∫ γ F d r = ∫ γ F γ ' ( t ) = ∫ a b a ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) x ' ( t ) + b ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) y ' ( t ) + c ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) z ' ( t )

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

γ consiste dos segmentos de retas ( 0 ,   0 ,   0 )   a   ( 0 ,   1 ,   1 ) ,   d e   ( 0 ,   1 ,   1 )   a   ( 1 ,   2 ,   3 )   e   d e   ( 1 ,   2 ,   3 ) a   ( 1 ,   2 ,   4 ) .

Então, precisamos calcular nossa integral separadamente para cada um desses segmentos de reta. Vamos começar parametrizando eles. Começando com o seguimento entre ( 0 ,   0 ,   0 )   a   ( 0 ,   1 ,   1 ) .

γ 1 ( t ) =   ( 0,1 , 1 ) t   ;     0 ≤ t ≤ 1

Logo,

x = 0

y = t  

z = t  

Além disso,

γ 1 ' ( t ) = ( 0,1 , 1 )

Logo, ( d x , d y , d z ) = ( 0,1 , 1 )

Então nossa integral em γ 1   fica

∫ γ 1 z ² d x - z d y + 2 y d z =

∫ 0 1 - t + 2 t d t = ∫ 0 1 t d t

= 1 / 2

Passo 3

Começando com o seguimento entre   ( 0 ,   1 ,   1 )   a   ( 1 ,   2 ,   3 ) .

γ 2 ( t ) =   ( 0,1 , 1 ) + ( 1,1 , 2 ) t   ;     0 ≤ t ≤ 1

Logo,

x = 1 + t

y = 1 + t  

z = 1 + 2 t  

Além disso,

γ 2 ' ( t ) = ( 1,1 , 2 )

Logo, ( d x , d y , d z ) = ( 1,1 , 2 )

Então nossa integral em γ 2   fica

∫ γ 2 z ² d x - z d y + 2 y d z =

∫ 0 1 ( 1 + 2 t ) ² - ( 1 + 2 t ) + 4 ( 1 + t ) d t =

∫ 0 1 4 t + 4 t ² - 2 t + 4 + 4 t   d t

∫ 0 1 4 t ² + 6 t + 4   d t

= 25 / 3

Passo 4

Começando com o seguimento entre   ( 1 ,   2 ,   3 ) a   ( 1 ,   2 ,   4 ) .

γ 3 ( t ) =   ( 1,2 , 3 ) + ( 0,0 , 1 ) t   ;     0 ≤ t ≤ 1

Logo,

x = 1

y = 2  

z = 3 + t  

Além disso,

γ 3 ' ( t ) = ( 0,0 , 1 )

Logo, ( d x , d y , d z ) = ( 0,0 , 1 )

Então nossa integral em γ 3   fica

∫ γ 3 z ² d x - z d y + 2 y d z =

∫ 0 1 2 * 2 d t =

4

Logo, somando os resultados das integrais em cada trecho da curva γ , obtemos que

∫ γ z ² d x - z d y + 2 y d z =   1 / 2 + 25 / 3 + 4

= 77 / 6

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 77 / 6

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