Em cada item abaixo, determine se F é ou não um campo gradiente no domínio indicado D. Em caso afirmativo, determine um potencial de F.

d) F x , y , z = x + z î - y + z j ^ + x - y k ^ ,   D = R 3

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e agora vamos resolver juntos essa questão. Antes de tudo, vamos calcular o rotacional desse campo vetorial para checarmos se ele é conservativo ou não.

r o t   F = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ k x + z - y - z x - y = - 1 - - 1 î + 1 - 1 j ^ + 0 + 0 k ^ = 0

Passo 2

Sendo R 3 um conjunto simplesmente conexo, então F é conservativo. Então começaremos o processo de encontrar um potencial de F.

F = ∇ φ ↔ ∂ φ ∂ x = x + z   ( i ) ∂ φ ∂ y = - y - z   ( i i ) ∂ φ ∂ z = x - y     ( i i i )

De (i) , iremos integrar em relação a x

φ = ∫ x + z d x = x 2 2 + x z + k y , z   ( i v )

Derivando e q . 4 em relação a y:

∂ φ ∂ y = ∂ ∂ y k y , z

E igualando com e q . 2 pra encontrar k y , z

- y - z = ∂ ∂ y k y , z

k y , z = ∫ - y - z d y = - y 2 2 - y z + k z   ( v )

Da e q . 4 e e q . 5

φ = x 2 2 + x z - y 2 2 - y z + k z   ( v i )

Passo 3

Agora derivando a e q . 6 em relação a z e igualando com e q . 3 pra encontrar k z

∂ φ ∂ z = x - y = x - y + ∂ k z ∂ z

k z = k , uma constante

Substituindo na e q . 6

φ x , y , z = x 2 z + x z - y 2 2 - y z + k

Resposta

φ x , y , z = x 2 z + x z - y 2 2 - y z + k

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