Em cada item abaixo, determine se F é ou não um campo gradiente no domínio indicado D. Em caso afirmativo, determine um potencial de F.

e) F(x, y, z) = (y^2 * cos(x) + z^3) î + (2y * sin(x) - 4) ĵ + (3x * z^2 + 2) ḱ, D = R^3

Passo 1

Olá amigo, Yuri aqui e antes de tudo vamos calcular o rotacional de F para que possamos descobrir se o campo é conservativo ou não.

r o t   F =   î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R

Calculando o determinante

= 0 - 0 î + 3 z 2 - 3 z 2 j ^ + 2 y cos ⁡ x - 2 y cos ⁡ x k ^ = 0

O domínio de F é simplesmente conexo, então F é um campo vetorial conservativo

Passo 2

Vamos então calcular o potencial de F

∇ φ = F ↔ ∂ φ ∂ x = y 2 cos ⁡ x + z 3   i ∂ φ ∂ y = 2 y sin ⁡ x - 4   i i ∂ φ ∂ z = 3 x z 2 + 2     i i i

Integrando (i) em relação a x

φ = ∫ y 2 cos ⁡ x + z 3 d x

φ = y 2 sin ⁡ x + x z 3 + k y , z     ( i v )

Agora derivando (iv) em relação a y

∂ φ ∂ y = 2 y sin ⁡ x + ∂ k y , z ∂ y   ( v )

Igualando ( v ) com (ii)

2 y sin ⁡ x + ∂ k y , z ∂ y = 2 y sin ⁡ x - 4

k y , z = - 4 y + k z   ( v i )

Substituindo ( v i ) em ( i v )

φ = y 2 sin ⁡ x + x z 3 - 4 y + k z

Agora vamos derivar e igualar a i i i

∂ φ ∂ z = 3 x z 2 + ∂ k z ∂ z

3 x z 2 + 2 = 3 x z 2 + ∂ k z ∂ z

Entao

∂ k z ∂ z = 2

k z = 2 z + k

E o potencial vai ficar

φ x , y , z = y 2 sin ⁡ x + x z 3 - 4 y + 2 z + k

Resposta

φ x , y , z = y 2 sin ⁡ x + x z 3 - 4 y + 2 z + k

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