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Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 6b

Calcule ∫ γ F d r onde   F ( x ,   y )   = 2 ( x + y ) î   + ( x - y ) j ^   e γ é a elipse de equação,

x 2 / a 2   + y 2 / b 2   =   1

percorrida uma vez em sentido anti horário.

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular ∫ γ F d r onde   F ( x ,   y )   = 2 ( x + y ) î   + ( x - y ) j ^   e γ é a elipse x 2 / a 2   + y 2 / b 2   =   1

percorrida uma vez em sentido anti horário

Lembram como calculamos esse tipo de integral?

Suponha que temos a curva

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

E o campo vetorial, F ( x , y , z ) = ( a ( x , y , z ) , b ( x , y , z ) , c ( x , y , z ) ) . Então,

∫ γ F d r = ∫ γ F γ ' ( t ) = ∫ a b a ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) x ' ( t ) + b ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) y ' ( t ) + c ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) z ' ( t )

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

x 2 / a 2   + y 2 / b 2   =   1

percorrida uma vez em sentido anti horário

Como nossa curva é a elipse, sua parametrização é

γ ( t ) = ( a c o s ( t ) , b s i n ( t ) )

Logo, temos que 0 ≤ t ≤ 2 π

Além disso,

γ ' ( t ) = ( - a s i n ( t ) , b c o s ( t ) )

e

x = a c o s ( t )

y = b s i n ( t )  

Então nossa integral fica

∫ γ F d r = ∫ 0 2 π ( 2 ( x + y ) , x - y ) ⋅ ( - a s i n ( t ) , b c o s ( t ) )  

∫ 0 2 π - 2 a 2 c o s ( t ) s i n ( t ) - 2 a b s i n 2 ( t ) + a b c o s 2 ( t ) - b 2 c o s ( t ) s i n ( t ) d t

∫ 0 2 π - c o s ( t ) s i n ( t ) ( 2 a 2 + b 2 ) - 2 a b s i n 2 ( t ) + a b c o s 2 ( t ) d t

adiciona e subtrai a b s i n 2 ( t )

∫ 0 2 π - c o s ( t ) s i n ( t ) ( 2 a 2 + b 2 ) - 3 a b s i n 2 ( t ) + a b   d t

Passo 3

∫ 0 2 π - c o s ( t ) s i n ( t ) ( 2 a 2 + b 2 ) - 3 a b s i n 2 ( t ) + a b   d t

Note que c o s ( t ) s i n ( t ) é uma função ímpar, logo como nosso domínio de integração é simétrico, então

= ∫ 0 2 π - 3 a b s i n 2 ( t ) + a b   d t

∫ 0 2 π - 2 a b + 3 a b c o s 2 ( t ) d t

Como a integral do cosseno ao quadrado é manjada, temos

= - 4 π a b + 3 / 2 a b ( t + s i n ( t ) c o s ( t ) ) | t = 2 π t = 0

= - 4 π a b + 3 a b π

= - π a b

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= - π a b

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