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Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 5b

Calcule ∫ γ F d r onde   F ( x ,   y ,   z )   = ( x 2   +   y ) î   −   7 y z j ^   +   2 x z 2 k ^ e γ é a curva ligando o ponto ( 0 ,   0 ,   0 )   a   ( 1 ,   1 ,   1 )

γ ( t )   é   o s   s e g m e n t o s   d e   r e t a   ( 0,0 , 0 )   a   ( 1,0 , 0 )   ;   ( 1,0 , 0 )   a   ( 1,1 , 0 )   e   ( 1,1 , 0 )   a   ( 1,1 , 1 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular ∫ γ F d r onde   F ( x ,   y ,   z )   =   ( x 2   +   y ) î   −   7 y z j ^   +   2 x z 2 k ^ e γ é a curva ligando o ponto ( 0 ,   0 ,   0 )   a   ( 1 ,   1 ,   1 )

γ ( t )   é   o s   s e g m e n t o s   d e   r e t a   ( 0,0 , 0 )   a   ( 1,0 , 0 )   ;   ( 1,0 , 0 )   a   ( 1,1 , 0 )   e   ( 1,1 , 0 )   a   ( 1,1 , 1 )

Lembram como calculamos esse tipo de integral?

Suponha que temos a curva

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

E o campo vetorial, F ( x , y , z ) = ( a ( x , y , z ) , b ( x , y , z ) , c ( x , y , z ) ) . Então,

∫ γ F d r = ∫ γ F γ ' ( t ) = ∫ a b a ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) x ' ( t ) + b ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) y ' ( t ) + c ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) z ' ( t )

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

γ ( t )   é   o s   s e g m e n t o s   d e   r e t a   ( 0,0 , 0 )   a   ( 1,0 , 0 )   ;   ( 1,0 , 0 )   a   ( 1,1 , 0 )   e   ( 1,1 , 0 )   a   ( 1,1 , 1 )

Ou seja, precisamos dividir nossa curva em 3 regiões, cada uma para cada segmento de reta.

Vamos começar calculando a integral para o primeiro segmento

( 0,0 , 0 )   a   ( 1,0 , 0 )

Parametrizando esse segmento é dado por:

γ 1 ( t ) = ( 1,0 , 0 ) t   ;   0 ≤ t ≤ 1

Além disso,

γ ' ( t ) = ( 1,0 , 0 )

e

x = t

y = 0

z = 0

Então nossa integral fica

∫ γ F d r = ∫ 0 1 ( x 2   +   y , −   7 y z ,     2 x z 2 ) ⋅ ( 1,0 , 0 )  

∫ 0 1 t 2 d t

= 1 / 3

Passo 3

calculando a integral para o segundo segmento

( 1,0 , 0 )   a   ( 1,1 , 0 )

Parametrizando esse segmento é dado por:

γ 2 ( t ) = ( 1,0 , 0 ) + ( 0,1 , 0 ) t   ;   0 ≤ t ≤ 1

Além disso,

γ ' ( t ) = ( 0,1 , 0 )

e

x = 1

y = t

z = 0

Então nossa integral fica

∫ γ F d r = ∫ 0 1 ( x 2   +   y , −   7 y z ,     2 x z 2 ) ⋅ ( 0,1 , 0 )  

∫ 0 1 0 d t

= 0

Passo 4

calculando a integral para o segundo segmento

( 1,1 , 0 )   a   ( 1,1 , 1 )

Parametrizando esse segmento é dado por:

γ 2 ( t ) = ( 1,1 , 0 ) + ( 0,0 , 1 ) t   ;   0 ≤ t ≤ 1

Além disso,

γ ' ( t ) = ( 0,0 , 1 )

e

x = 1

y = 1

z = t

Então nossa integral fica

∫ γ F d r = ∫ 0 1 ( x 2   +   y , −   7 y z ,     2 x z 2 ) ⋅ ( 0,0 , 1 )  

∫ 0 1 2 t 2 d t

= 2 / 3

Somando os valores das integrais em cada seção da nossa curva, encontramos

1 / 3 + 2 / 3 = 1

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 1

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