Em cada item abaixo, determine se F é ou não um campo gradiente no domínio indicado D. Em caso afirmativo, determine um potencial de F.

g) F(x, y, z) = -y * i + x * j / (x^2 + y^2), D = R^2 - {x, 0 : x ≤ 0}

Passo 1

Olá pessoal, Yuri aqui, e agora iremos resolver essa atividade. Primeiro iremos calcular o rotacional

r o t F = ( - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 - - x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 = 0

O

D F = x , y ∈ R 2   : x , y ≠ 0,0

D é simplesmente conexo, e como o rotacional de F é zero, F admite potencial em D.

Passo 2

Vamos iniciar o encontro de nosso potencial para F,

∂ φ ∂ x = - y x 2 + y 2 ∂ φ ∂ y = y x 2 + y 2

E a partir de

∂ φ ∂ x   : φ x , y = ∫ - y x 2 + y 2 d x = - y ∫ 1 y 2 x 2 y 2 + 1 d x = - 1 y ∫ 1 x 2 y 2 + 1 d x

Iremos chamar de x y = tan ⁡ u e d x = y sec 2 ⁡ u d u

- 1 y ∫ 1 tan 2 ⁡ u + 1 ∙ y sec 2 ⁡ u d u = - ∫ sec 2 ⁡ u tan 2 ⁡ u + 1 d u = - arctan ⁡ x y = arctan ⁡ y x

Resposta

arctan ⁡ y x

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