Calcule ∫ γ F d r onde   F ( x ,   y )   = y î   + ( x 2 + y 2 ) j ^   e γ arco de circunferência

γ ( x )   =   ( x ,   4   −   x 2 ) ,   l i g a n d o   ( − 2 ,   0 )   a   ( 2 ,   0 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular ∫ γ F d r onde   F ( x ,   y )   = y î   + ( x 2 + y 2 ) j ^   e γ arco de circunferência

γ ( x )   =   ( x ,   4   −   x 2 ) ,   l i g a n d o   ( − 2 ,   0 )   a   ( 2 ,   0 ) .

Lembram como calculamos esse tipo de integral?

Suponha que temos a curva

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

E o campo vetorial, F ( x , y , z ) = ( a ( x , y , z ) , b ( x , y , z ) , c ( x , y , z ) ) . Então,

∫ γ F d r = ∫ γ F γ ' ( t ) = ∫ a b a ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) x ' ( t ) + b ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) y ' ( t ) + c ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) z ' ( t )

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

γ ( t ) = ( t , 4   −   t 2   )

E a curva liga os pontos

( − 2 ,   0 )   a   ( 2 ,   0 )

Logo, temos que - 2 ≤ t ≤ 2

Além disso,

γ ' ( t ) = ( 1 , - t ( 4   −   t 2 ) - 1 / 2 )

e

x = t

y = 4   −   t 2  

Então nossa integral fica

∫ γ F d r = ∫ - 2 2 ( y , x 2 + y 2 ) ⋅ ( 1 , - t ( 4   −   t 2 ) - 1 / 2 )  

∫ - 2 2 4   −   t 2 - t 3 ( 4   −   t 2 ) 1 / 2 d t

= ∫ - 2 2 4   −   t 2 ( 1 - t 3 ) d t

Passo 3

∫ - 2 2 4   −   t 2 ( 1 - t 3 ) d t

fazendo t = 2 s i n ( u ) ⇒ d t = 2 c o s ( u ) , logo a integral fica

∫ - 2 2 4   −   4 s i n 2 ( t ) ( 1 - 8 s i n 3 ( t ) ) 2 c o s ( u ) d u

= ∫ - 2 2 2 c o s ( u ) ( 1 - 8 s i n 3 ( t ) ) 2 c o s ( u ) d u

= ∫ - 2 2 - 32 s i n 3 ( u ) c o s 2 ( u ) + 4 c o s 2 ( u ) d u

= - 32 / 30 ( c o s 3 ( u ) ( 3 c o s ( 2 u ) - 7 ) ) + 2 s i n ( u ) c o s ( u ) + 2 u

Aplicando os limites de integração, temos - π / 2 ≤ u ≤ π / 2   .

= - 32 / 30 ( c o s 3 ( u ) ( 3 c o s ( 2 u ) - 7 ) ) + 2 s i n ( u ) c o s ( u ) + 2 u | u = π / 2 u = - π / 2

=   2 π

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

2 π

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