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Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Teorema de Gauss

Sejam f e g campos escalares definidos em R 3 de classe C 2 . Calcule d i v ∇ f × ∇ g

Passo 1

Primeiro vamos achar os vetores gradientes

∇ f = f x , f y , f z

Estou usando essa notação porque esse monstro vai crescer absurdamente, então assim é mais fácil de fazer.

∇ g = g x , g y , g z

Vamos agora ao produto vetorial

i j k f x f y f z g x g y g z

Para esse produto vetorial vamos fazer

Vai ficar

∇ f × ∇ g = f y g z i + f z g x j + f x g y k - f y g x k - f z g y i - f x g z j

Isso vai ficar

∇ f × ∇ g = f y g z - f z g y   ,   f z g x - f x g z   , f x g y - f y g x

Passo 2

-

O divergente dessa parada vai ficar

d i v ∇ f × ∇ g = ∂ ∂ x f y g z - f z g y + ∂ ∂ y f z g x - f x g z + ∂ ∂ z f x g y - f y g x

Vamos usar as propriedades de derivada aqui, lembrando que a derivada do produto é a derivada do primeiro vezes o segundo mais a derivada do segundo vezes o primeiro. Então vamos ter

d i v ∇ f × ∇ g = ∂ ∂ x f y g z - ∂ ∂ x f z g y + ∂ ∂ y f z g x - ∂ ∂ y f x g z + ∂ ∂ z f x g y - ∂ ∂ z f y g x

Vamos fazer cada uma dessas derivadas separado

∂ ∂ x f y g z = ∂ ∂ x f y g z + f y ∂ ∂ x g z = f y x g z + f y g z x

∂ ∂ x f z g y = ∂ ∂ x f z g y + f z ∂ ∂ x g y = f z x g y + f z g y x

∂ ∂ y f z g x = ∂ ∂ y f z g x + f z ∂ ∂ y g x = f z y g x + f z g x y

∂ ∂ y f x g z = ∂ ∂ y f x g z + f x ∂ ∂ y g z = f x y g z + f x g z y

∂ ∂ z f x g y = ∂ ∂ z f x g y + f x ∂ ∂ z g y = f x z g y + f x g y z

∂ ∂ z f y g x = ∂ ∂ z f y g x + f y ∂ ∂ z g x = f y z g x + f y g x z

Ufa, confere tudo aí com calma, porque essa parada é braba mesmo.

O divergente vai ficar

d i v ∇ f × ∇ g = f y x g z + f y g z x - f z x g y + f z g y x + f z y g x + f z g x y - f x y g z + f x g z y + f x z g y + f x g y z f y z g x + f y g x z    

Vamos dar uma ajeitada nessa parada toda, como a ordem de derivação não vai ficar diferente, vamos colocar tudo na ordem alfabética

d i v ∇ f × ∇ g = f x y g z + f y g x z - f x z g y + f z g x y + f y z g x + f z g x y - f x y g z + f x g y z + f x z g y + f x g y z f y z g x + f y g x z    

Vamos escrever junto tudo que temos que é igual para você poder ver melhor isso

d i v ∇ f × ∇ g = f x y g z - f x y g z + f y g x z - f y g x z + f x z g y - f x z g y + f z g x y - f z g x y + f y z g x - f y z g x + f x g y z - f x g y z

Isso tudo dá 0 , então mostramos como ele queria que

d i v ∇ f × ∇ g = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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