Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

17) Calcule as seguintes integrais:

b)

∫ C   1 + 2 x cos ⁡ y d x + 7 x y - x 2 sin ⁡ y d y

Onde C é a curva y = cos ⁡ x , - π 2 ≤ x ≤ π 2 , percorrida de A = π 2 ,   0 a B = - π 2 ,   0 .

Passo 1

Bem, perceba que nesse problema o enunciado não nos disse como essa integral de linha deve ser feita, porém... Repare que o campo que estamos trabalhando é

F → x ,   y = 1 + 2 x cos ⁡ y ,   7 x y - x 2 sin ⁡ y

e ele é chato, pois imagina aquele y = cos ⁡ x dentro de um seno? :\

Isso é uma sugestão que devemos utilizar o teorema de Green para matar o problema, mas para você ter certeza se é Green ou não, calculemos

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

As derivadas parciais são...

∂ F 2 ∂ x = ∂ 7 x y - x 2 sin ⁡ y ∂ x = 7 y - 2 x sin ⁡ y

∂ F 1 ∂ y = ∂ 1 + 2 x cos ⁡ y ∂ y = - 2 x sin ⁡ y

logo

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 7 y - 2 x sin ⁡ y + 2 x sin ⁡ y

= 7 y

De fato é muito simples essa subtração nos indicando que de fato estamos lidando com Green

Passo 2

O teorema de Green nada mais é do que essa igualdade mara entre a integral de linha com uma integral dupla:

∮ ∂ D   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:

1º - Uma região fechada D que tem com borda, a curva fechada ∂ D .

2º - Orientadas positivamente.

3º - Um campo F → sem singularidades onde estamos trabalhando.

Vamos averiguar?

Passo 3

O primeiro, como vimos, nos diz que precisamos de uma curva fechada e delimitando uma região D .

Ora, a curva C , pelo próprio enunciado, é um pedacinho da cossenoide y = cos ⁡ x indo do ponto A ao B :

Observe que infelizmente essa curva é aberta e não poderíamos aplicar o teorema. Por isso, nos devemos fecha-la com a curva mais simples que conseguirmos o que no caso é essa retinha verde aqui:

Repare que ela tem que está seguindo o fluxo e, além disso, ela delimita essa região fechada D :

Passo 4

Quanto ao orientada positivamente, está ok, pois a curva gira no sentido anti-horário e em relação ao campo sem singularidades também ok, afinal o nosso campo é:

F → x ,   y = 1 + 2 x cos ⁡ y ,   7 x y - x 2 sin ⁡ y

e ele não tem nenhum “bug” em nenhum lugar ;)

Passo 5

Condições do Teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa boa:

∮ ∂ D   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Bem, cuidado que aqui tem um detalhe muito importante! Se você reparar a região D com mais cuidado,

verá que a fronteira dele é a curva C em vermelho e a curva verde que vamos chamar de C 1 , logo...

∮ ∂ D   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A       →           ∫ C   F → d r → + ∫ C 1   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A   →

∫ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A - ∫ C 1   F → d r →

Se queremos a integral de linha em C , calculemos essas integrais do lado direito e tá tudo certo (hehe ). Bora?

Passo 6

Primeiro, vamos resolver a integral dupla:

∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A = ∬ D   7 y   d A

A região D

pode ser descrita como do tipo 1 ...

- π 2 ≤ x ≤ π 2

e o y ...

0 ≤ y ≤ cos ⁡ x

Logo a integral ficará sendo...

∬ D   7 y   d A = ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 cos ⁡ x 7 y   d y d x   →

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 cos ⁡ x 7 y   d y d x = ∫ - π 2 π 2 7 y 2 2 0 cos ⁡ x d x   →

  ∫ - π 2 π 2 7 cos ⁡ x 2 2 d x = 7 2 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ x d x →

Lembrando que cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 ...

7 2 ∫ - π 2 π 2 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x = 7 2 1 2 x + sin ⁡ 2 x 4 - π 2 π 2 =

7 2 1 2 x + sin ⁡ 2 x 4 - π 2 π 2 = 7 2 π 4 - - π 4

= 7 π 4

Passo 7

Fazendo agora a integral de linha

∫ C 1   F → d r →

em cima da reta C 1 que adicionemos...

  • Precisamos de C 1 parametrizada:
  • y = 0

    x = t

    ou

    γ t = t ,   0

    como estamos sando de π 2 ,   0 e indo para - π 2 ,   0 , x varia de - π 2 a π 2 , logo...

    - π 2 ≤ t ≤ π 2

  • O termo d r → é...
  • d r → = γ ' t d t

    d r → = 1 ,   0 d t

  • Não se esqueça de trocar os termos da função F → ...

F → = 1 + 2 x cos ⁡ y ,   7 x y - x 2 sin ⁡ y   →       F → = 1 + 2 t ,   0

Substituindo na integral de linha...

∫ C 1   F → d r → = ∫ - π 2 π 2 1 + 2 t ,   0 ⋅ 1 ,   0 d t →

∫ - π 2 π 2 1 + 2 t   d t = t + t 2 - π 2 π 2 =

π 2 + π 2 2 - - π 2 + - π 2 2 =

π

Passo 8

Voltando ao teorema de Green...

∫ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A - ∫ C 1   F → d r →

e substituindo esses resultados paralelos...

∫ C   F → d r → = 7 π 4 - π =

3 π 4

Resposta

a ) 3 π 4

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2