Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Seja C a curva em R 2 parametrizada por

σ t = t - s e n t , 1 - cos ⁡ t         t ∈ [ 0,2 π ]

Calcule a área que fica entre a curva e o eixo x .

Sugestão: aplicar o Teorema de Green, usando um campo vetorial F → tal que

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1

Passo 1

Antes de tudo vamos entender que região é essa. Repare que os pontos inicial e final da curva são

σ 0 = 0,0

σ 2 π = 2 π , 0

Isso quer dizer que ela começa no eixo x e volta para ele. Então, para termos uma região fechada, vamos criar o segmento de reta que vai de 0,0 a 2 π , 0 .

Agora repare que a curva do problema vai desde 0,0 a 2 π , 0 , ou seja, ela gira no sentido horário. Para termos uma orientação positiva, então, queremos a curva oposta a essa, σ - .

Assim, podemos aplicar o Teorema de Green:

∫ σ -   F . d r + ∫ r   F . d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Sendo as curvas orientadas positivamente (anti-horário)e sendo D a região limitada por elas.

Passo 2

Tá, mas nós queremos a área de D , e aí? Vamos forçar isso a aparecer encontrando um campo F (como sugere a questão) tal que

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1

Pode ser

F → x , y = - y , 0

Isso nos dá

∫ σ -   F . d r + ∫ r   F . d r = ∬ D   d x d y = Á r e a ( D )

Á r e a D = ∫ r   F . d r - ∫ σ   F . d r

Passo 3

Agora precisamos resolver essas integrais de linha. Começando pela curva do problema: como ela já está parametrizada, o próximo passo é derivar essa parametrização.

σ ' ( t ) = 1 - cos ⁡ t , s e n t

Agora a gente usa a fórmula

∫ σ   F x , y d s = ∫ a b F x t ,   y t ⋅   σ → ' d t

F x t ,   y t = - ( 1 - cos ⁡ t , 0 = cos ⁡ ( t ) - 1,0

∫ σ   F x , y d s = ∫ 0 2 π cos ⁡ ( t ) - 1,0 . 1 - cos ⁡ t , s e n t d t

= ∫ 0 2 π - 1 - cos ⁡ t 2 d t =

= ∫ 0 2 π - 1 + 2 cos ⁡ t - cos 2 ⁡ t d t =

Temos

cos 2 ⁡ ( t ) = 1 + cos ⁡ ( 2 t ) 2

O que nos dá

= ∫ 0 2 π - 1 + 2 cos ⁡ t - 1 + cos ⁡ ( 2 t ) 2 d t =

= ∫ 0 2 π - 3 2 + 2 cos ⁡ t - 1 2 cos ⁡ ( 2 t ) d t =

= - 3 θ 2 + 2 s e n t - 1 4 sen ⁡ 2 t 0 2 π =

= - 3 π

Passo 4

Agora, precisamos da integral no segmento que vai de 0,0 a 2 π , 0 . Como o segmento pertence à reta y = 0 , podemos parametrizá-lo assim:

r t = ( x , 0 )

Onde 0 ≤ x ≤ 2 π .

Derivando isso aí

r ' t = ( 1,0 )

Agora, vamos usar a fórmula

∫ r   F x , y d s = ∫ a b F x x ,   y x ⋅   σ → ' d x

F x x ,   y x = 0,0

O que nos dá

∫ r   F x , y d s = ∫ a b 0,0 . ( 1,0 ) d x = 0

Passo 5

Temos então

Á r e a D = ∫ r   F . d r - ∫ σ   F . d r = 3 π

Resposta

3 π

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2