Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Seja C o trecho da elipse x - 1 2 + y 2 4 = 1 com y ≥ 0 , de (2,0) a (0,0). A integral ∫ C 2 y + x d x + e 2 y + 4 x d y é igual a:

Passo 1

Bom, pra começar essa questão, vamos ver essa elipse do enunciado.

No então ele que apenas o y > 0 , logo ficamos com:

Passo 2

Essa parece uma questão ideal para aplicarmos o teorema de green, no entanto, se você for observar, logo de cara temos uma curva aberta. Pra esse caso vamos simplesmente fechar essa curva com uma C 1 . Assim, nosso teorema fica:

Passo 3

Resolvendo primeiro a integral fupla ficamos com:

F x , y = 2 y + x ,   e 2 y + 4 y

∂ F 2 ∂ x = 4

∂ F 1 ∂ y = 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2

Ficamos então com:

∬ D 2   d x d y

Isso nos da exatamente 2 vezes a área da região, que se você for observar é a metade da elipse. Logo ficamos com:

2 . Á R E A   E L Í P S E 2

Á R E A   D A   E L Í S E = π . a . b = 2 π

Passo 4

Resolvemos então a integral dupla. Ficamos agora precisando da integral de linha em cima da nova curva C 1 que precisamos usar para fechar a curva C . Recomendo usar sempre a mais simples possível. Pra esse caso pode ser simplesmente uma reta que passa por cima do eixo x, ligando os pontos (0,0) e (2,0).

Parametrizando:

σ t = t , 0

0 ≤ t ≤ 2

Precisamos agora da derivada da parametrização:

σ ' t = 1,0

E finalmente do campo em função da parametrização. Lembrando que nosso campo era F x , y = 2 y + x ,   e 2 y + 4 y , ficamos com:

F σ t = ( t , 4 t )

Passo 5

Podemos então finalmente montar a integral e resolvê-la.

∫ 0 2 t , 4 t 1,0 d t

∫ 0 2 t   d t = 2

Passo 6

Por último, mas não menos importante, precisamos voltar ao teorema de green.

∫ C F d r + 2 = 2 π

∫ C F d r = 2 π - 2

Resposta

2 π - 2

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2