Teorema de Green
Calcule a integral
Onde é o arco do gráfico de que vai de a .
Passo 1
Bom, já deu para ver que calcular essa integral aí pela definição deve dar muito trabalho, né? Vamos tentar aplicar Green então. Temos:
Bom, como é uma expressão relativamente simples, quer dizer que estamos no caminho certo.
Passo 2
Pelo Teorema de Green, considerando uma curva fechada orientada no sentido anti-horário e a região limitada por ela, temos:
Mas o problema pede a integral de linha na curva de a , isso aqui:
Logo, essa curva é aberta, precisamos fechar!
Então vamos fechá-la, com uma reta mesmo, que liga os pontos final e inicial, no mesmo sentido do arco:
Então, sendo a união do arco com a o segmento de reta e igual a no sentido contrário, pois precisamos da curva orientada positivamente, temos:
Mas queremos a integral de linha em , não :
Onde é a região em cinza na figura acima. Então, para encontrar a integral que queremos, precisamos resolver a integral dupla e a integral de linha na reta.
Repare que o campo não possui indeterminação em .
Passo 3
Vamos começar pela integral dupla. Descrevendo a região como tipo I, temos entre e a curva e desde até . Levando para a integral, temos:
Passo 4
Agora vamos resolver a integral de linha no segmento de reta. Vamos começar parametrizando o segmento.
Como o segmento pertence à reta , podemos usar essa parametrização aqui:
Onde vai de a (por causa da orientação de ).
Agora vamos derivar essa parametrização:
Escrevendo o campo
Nas variáveis da parametrização, temos:
Podemos, então, substituir os valores que encontramos na fórmula abaixo:
Passo 5
Agora vamos substituir os valores que encontramos para calcular o que o problema pediu: