Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Questão 3: Seja F x ,   y o campo

F x ,   y = e - x + y 2 ,   e - y + x 2

E C o arco da curva y = cos ⁡ x de - π 2 , 0 até π 2 ,   0 . Usando o Teorema de Green calcular

∫ C   F d r

Passo 1

Normalmente, podemos resolver integrais de linha de uma forma direta calculando essa integral:

∫ C   F x ,   y ⋅ d r →

Agora poxa! Você já deve ter notado que esse campo é muito chato para trabalharmos com ele direto dessa forma, até porque teríamos que substituir y = cos ⁡ x no campo e ia aparecer algo do tipo e - cos ⁡ x . Mas não se preocupe, pra isso que serve o teorema de Green (pedido no problema):

∫ ∂ D   F x ,   y ⋅ d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Ou seja, estamos prestes trocar essa integral de linha por uma integral dupla ! (não se preocupe com a notação ∂ D que isso só significa borda da região D )

Passo 2

Mas mesmo que o problema não nos tivesse mandado seguir G r e e n e você estiver em dúvida como resolver, sugiro que calcule essa subtração de derivadas parciais, como vamos fazer agora:

F x ,   y = F 1 ,   F 2 = e - x + y 2 ,   e - y + x 2

Derivando então...

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x e - y + x 2 = 2 x

Calculando então a outra derivada parcial...

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y e - x + y 2 = 2 y

Então...

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2 x - 2 y =

2 x - y

POW! Que resultado, bonito, não é verdade. Isso é a prova “viva” que vamos utilizar mesmo o Teorema de Green, pois ele vai mesmo simplificar as nossas contas ;)

Passo 3

Todavia, para aplicar o Teorema de Green precisamos no mínimo nos certificar se o teorema de fato pode ser aplicado, neh? Esse teorema, como já deve saber, exige três condições:

  1. Curva fechada ∂ D que delimita a região D .
  2. Curvas orientadas positivamente.
  3. Sem singularidades onde estamos trabalhando.

Vamos verificar cada uma a partir de agora, ok?

Passo 4

1 )

A começar pela primeira: uma curva fechada. Isso é um pequeno problema pra gente, já que a nossa curva C é esse pedaço de cossenoide aqui, veja:

Mas calma! Esse problema pra gente pode ser facilmente resolvido fechando a curva com a curva mais simples que conseguirmos (que nesse caso é essa reta azul aqui no eixo x ):

Não se preocupe que o Teorema de Green nos dá total liberdade para fazermos isso. A propósito, vou chamar essa curva de C 1 .

Vale dar uma ressaltada aqui também, que o a borda da região fechada D , agora é composta por duas curvas: C e C 1 ...

∂ D = C ∪ C 1

Passo 5

Show, curva escolhidas, podemos verificar se ambas giram no sentido positivo, lembrando que para isso acontecer, devemos ter ambas as curvas girando no sentido anti-horário:

Mas calma lá, jovem! Se você der uma olhada com atenção para o enunciado do problema, queremos calcular a integral na curva C (a cossenoide) de - π 2 ,   0 até π 2 ,   0 . Então ambas as curvas estão girando naturalmente nesse sentido aqui:

Para evitar problemas com Green, então, coloquemos um sinal negativo em frente a integral dupla:

∫ ∂ D   F x ,   y ⋅ d r → = - ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

E agora, ao invés de trabalharmos com a curva girando para o anti-horário, como Green exige, podemos usar a rotação original (o sentido horário):

Passo 6

Por último, podemos verificar a última exigência do teorema que é saber se o campo tem algum problema de definição em algum ponto:

F x ,   y = e - x + y 2 ,   e - y + x 2

Como F é composto por exponenciais e polinômios, então não tem o que temer não: ele não tem singularidade alguma !

Passo 7

Com três essas coisas funcionando perfeitamente em harmonia, podemos retornar para a igualdade de Green que vamos usar:

∫ ∂ D   F x ,   y ⋅ d r → = - ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

E ajusta-la!

Como ∂ D = C ∪ C 1 , podemos separar a integral de linha:

∫ C   F x ,   y ⋅ d r → + ∫ C 1   F x ,   y ⋅ d r → = - ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A       →

Como, desde o início, queríamos encontrar o valor da integral de linha em cima da cossenoide (curva C ), podemos isola-la:

∫ C   F x ,   y ⋅ d r → = - ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A - ∫ C 1   F x ,   y ⋅ d r →

Outra coisa que poderíamos fazer aqui para facilitar o cálculo é: consegue ver que a integral em cima de C 1 está negativa? Podemos inverter o sinal se trocarmos o sentido de giro!

∫ C   F x ,   y ⋅ d r → = - ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A + ∫ - C 1   F x ,   y ⋅ d r →

É a mesma coisa, só que agora, ao invés da curva C 1 girar para trás, como vimos no final do passo 5 , ele deve andar para frente:

Mais uma vez, não se preocupe que - C 1 é só uma notação para indicar que a curva gira no sentido oposto .

Passo 8

Tá, vamos começar resolvendo a integral dupla:

∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A = 2 ∬ D   x - y d A

Precisamos então descrever a região D :

O que pode ser feito com o auxílio de região do tipo 1, onde podemos ter o x variando entre números:

- π 2 ≤ x ≤ π 2

Enquanto o y varia de uma base até um teto:

B a s e ≤ y ≤ T e t o   c o s s e n o i d a l   →

0 ≤ y ≤ cos ⁡ x

Logo...

2 ∬ D   x - y d A = 2 ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 cos ⁡ x x - y d y d x

Resolvendo a integral dupla:

2 ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 cos ⁡ x x - y d y d x = 2 ∫ - π 2 π 2 x y - y 2 2 0 cos ⁡ x d x =

2 ∫ - π 2 π 2 x cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 d x = 2 ∫ - π 2 π 2 x cos ⁡ x d x - ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ x 2 d x

A primeira integral, vamos ter de calcular com integração por partes:

∫     u   d v = u v - ∫     v   d u

Onde u = x (pois é fácil de derivar) enquanto d v = cos ⁡ x   d x ...

u = x                     →                           d u = d x

d v = cos ⁡ x d x                     →                           v = sin ⁡ x                          

∫     u   d v = u v - ∫     v   d u     →         ∫     x cos ⁡ x d x = x ⋅ sin ⁡ x - ∫     sin ⁡ x   d x     →

∫     x cos ⁡ x d x = x ⋅ sin ⁡ x + cos ⁡ x + k 1

Para outra integral:

∫     cos 2 ⁡ x 2 d x

Basta lembrar de que cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 ...

∫     cos 2 ⁡ x 2 d x = ∫     1 + cos ⁡ 2 x 4 d x = 1 4 x + sin ⁡ 2 x 8 + k 2

Assim:

2 ∫ - π 2 π 2 x cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 d x = 2 x ⋅ sin ⁡ x + cos ⁡ x + k 1 - 1 4 x - sin ⁡ 2 x 8 - k 2 - π 2 π 2 =

2 π 2 ⋅ sin ⁡ π 2 + cos ⁡ π 2 + k 1 - 1 4 π 2 - sin ⁡ 2 π 2 8 - k 2 - - π 2 ⋅ sin ⁡ - π 2 + cos ⁡ - π 2 + k 1 - 1 4 - π 2 - sin ⁡ 2 - π 2 8 - k 2 =

2 π 2 + k 1 - π 8 - k 2 - π 2 + k 1 + π 8 - k 2 =

2 π 2 - π 8 - π 2 + π 8 = 2 - π 4

- π 2

Passo 9

Calma Jovem! Ainda não acabou não, pois nos falta a integral de linha:

∫ - C 1   F x ,   y ⋅ d r →

Onde vamos:

  1. Parametrizar a curva - C 1 :
  2. y = 0         e           x = t

    r → ' t = t ,   0  

    Onde t está variando de:

    - π 2 ≤ t ≤ π 2

  3. Encontrar o termo d r → ...
  4. d r → = r → ' t d t = 1 ,   0 d t

  5. Encontrar o campo nos termos da parametrização:

F x ,   y = e - x + y 2 ,   e - y + x 2   →

F r → ' t = e - t ,   1 + t 2

Agora é só substituir na integral de linha:

∫ - C 1   F x ,   y ⋅ d r → = ∫ - π 2 π 2 e - t ,   1 + t 2 ⋅ 1 ,   0 d t =

∫ - π 2 π 2 e - t d t =   - e - t   - π 2 π 2 = - e - π 2 - - e π 2 =

e π 2 - e - π 2

Passo 10

Finalmente podemos regressar à integral que queremos de fato encontrar o valor:

∫ C   F x ,   y ⋅ d r → = - ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A + ∫ - C 1   F x ,   y ⋅ d r →     →

∫ C   F x ,   y ⋅ d r → = - - π 2 + e π 2 - e - π 2 =

e π 2 - e - π 2 + π 2

Resposta

e π 2 - e - π 2 + π 2

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2