Questão 3: Seja o campo

E o arco da curva de até . Usando o Teorema de Green calcular

Mas mesmo que o problema não nos tivesse mandado seguir e você estiver em dúvida como resolver, sugiro que calcule essa subtração de derivadas parciais, como vamos fazer agora:

Derivando então...

Calculando então a outra derivada parcial...

Então...

POW! Que resultado, bonito, não é verdade. Isso é a prova “viva” que vamos utilizar mesmo o Teorema de Green, pois ele vai mesmo simplificar as nossas contas ;)

Todavia, para aplicar o Teorema de Green precisamos no mínimo nos certificar se o teorema de fato pode ser aplicado, neh? Esse teorema, como já deve saber, exige três condições:

1. Curva fechada que delimita a região .
2. Curvas orientadas positivamente.
3. Sem singularidades onde estamos trabalhando.

Vamos verificar cada uma a partir de agora, ok?

A começar pela primeira: uma curva fechada. Isso é um pequeno problema pra gente, já que a nossa curva é esse pedaço de cossenoide aqui, veja:

Mas calma! Esse problema pra gente pode ser facilmente resolvido fechando a curva com a curva mais simples que conseguirmos (que nesse caso é essa reta azul aqui no eixo ):

Não se preocupe que o Teorema de Green nos dá total liberdade para fazermos isso. A propósito, vou chamar essa curva de .

Vale dar uma ressaltada aqui também, que o a borda da região fechada , agora é composta por duas curvas: e ...

Show, curva escolhidas, podemos verificar se ambas giram no sentido positivo, lembrando que para isso acontecer, devemos ter ambas as curvas girando no sentido anti-horário:

Mas calma lá, jovem! Se você der uma olhada com atenção para o enunciado do problema, queremos calcular a integral na curva (a cossenoide) de até . Então ambas as curvas estão girando naturalmente nesse sentido aqui:

Para evitar problemas com Green, então, coloquemos um sinal negativo em frente a integral dupla:

E agora, ao invés de trabalharmos com a curva girando para o anti-horário, como Green exige, podemos usar a rotação original (o sentido horário):

Por último, podemos verificar a última exigência do teorema que é saber se o campo tem algum problema de definição em algum ponto:

Como é composto por exponenciais e polinômios, então não tem o que temer não: ele não tem singularidade alguma !

Com três essas coisas funcionando perfeitamente em harmonia, podemos retornar para a igualdade de Green que vamos usar:

E ajusta-la!

Como , podemos separar a integral de linha:

Como, desde o início, queríamos encontrar o valor da integral de linha em cima da cossenoide (curva ), podemos isola-la:

Outra coisa que poderíamos fazer aqui para facilitar o cálculo é: consegue ver que a integral em cima de está negativa? Podemos inverter o sinal se trocarmos o sentido de giro!

É a mesma coisa, só que agora, ao invés da curva girar para trás, como vimos no final do passo , ele deve andar para frente:

Mais uma vez, não se preocupe que é só uma notação para indicar que a curva gira no sentido oposto .

Tá, vamos começar resolvendo a integral dupla:

Precisamos então descrever a região :

O que pode ser feito com o auxílio de região do tipo 1, onde podemos ter o variando entre números:

Enquanto o varia de uma base até um teto:

Logo...

Resolvendo a integral dupla:

A primeira integral, vamos ter de calcular com integração por partes:

Onde (pois é fácil de derivar) enquanto ...

Para outra integral:

Basta lembrar de que ...

Assim:

Calma Jovem! Ainda não acabou não, pois nos falta a integral de linha:

Onde vamos:

1. Parametrizar a curva :

Onde está variando de:

2. Encontrar o termo ...
3. Encontrar o campo nos termos da parametrização:

Agora é só substituir na integral de linha:

Finalmente podemos regressar à integral que queremos de fato encontrar o valor: