Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Calcule a integral de linha

∫ C F → ∙ d r →

Onde C é a parte da curva x = 1 - y 2 , que se encontra entre y = - 1 e y = 1 , orientada de modo que 0 , - 1 é o seu ponto inicial, e

F → x , y = x 3 e cos ⁡ x + x y ,   y 2 + x 2

Passo 1

Bem, com um campo desse a integral parece meio inviável de se calcular pela definição, né?

Mas com Green as coisas devem simplificar bastante, já que:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2 x - x = x

Só que pra podermos aplicar o teorema, temos que garantir que a curva é fechada. Vamos ver:

Bem, dá pra ver que nesse pedaço que ele quer, que é entre y = - 1 e y = 1 , a curva não é fechada.

Então vamos ter que fechar a curva. Podemos simplesmente criar a reta γ que liga o ponto ( 0 , 1 ) ao ( 0 , - 1 ) , ficando com algo assim:

E agora sim podemos aplicar Green nessa região fechada, já orientada positivamente:

∫ ∂ D F → ∙ d r → = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Então, para acharmos a integral sobre C , vamos fazer:

∫ ∂ D F → ∙ d r → = ∫ C F → ∙ d r → + ∫ γ F → ∙ d r → = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

⇒ ∫ C F → ∙ d r → = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A - ∫ γ F → ∙ d r →

Eita, mas ai vamos ter que calcular uma integral de linha pela definição de qualquer jeito, né?

Mas calma, que agora temos uma reta de x = 0 , o que deve simplificar bastante as coisas, já é bem melhor do que tinhamos antes. Então vamos logo às contas!

Passo 2

Vamos começar pela integral dupla lá, que vimos que o termo é bem tranquilo:

∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A = ∬ D x   d A

A região é bem tranquila também:

- 1 ≤ y ≤ 1 ,             0 ≤ x ≤ 1 - y 2

Então, vamos ter:

∬ D x   d A = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 x   d x d y

⇒ ∫ - 1 1 x 2 2 │ 0 1 - y 2 d y = 1 2 ∫ - 1 1 1 - y 2 2 d y = 1 2 ∫ - 1 1 1 - 2 y 2 + y 4 d y

⇒ 1 2 y │ - 1 1 - 2 y 3 3 │ - 1 1 + y 5 5 │ - 1 1 = 1 2 2 - 4 3 + 2 5

⇒ 8 15

Tranquilo, vamos ver a integral de linha agora!

Passo 3

Só tá faltando aquela integral de linha sobre γ , que vamos calcula rpela fómula mesmo:

∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F → x t , y t ∙ σ → ' t d t

Então primeiro de tudo precisamos da parametrização. Como temos uma reta com x = 0 , é algo bem simples, só fica ligado na orientação, pois a curva precisa ir de ( 0,1 ) a ( 0 , - 1 ) , e nao o contrário. Mas então vamos ter:

γ : σ → t = 0 , - t ,     - 1 ≤ t ≤ 1

O vetor tangente também é tranquilinho:

σ → ' t = d x d t , d y d t = 0 , - 1

E aquele campo bizarro do início da questão fica simplesmente:

F → x t , y t = 0 3 e cos ⁡ 0 + 0 - t ,   - t 2 + 0 2 = 0 , t 2

Super de boa, né? Agora é só calcular!

Passo 4

Vamos jogar tudo na fórmula:

∫ a b F → x t , y t ∙ σ → ' t d t = ∫ - 1 1 0 , t 2 ∙ 0 , - 1 d t

⇒ ∫ - 1 1 - t 2 d t = - t 3 3 │ - 1 1 = - 2 3

Super tranquilo também!

Passo 5

Agora que ja temos tudo, é só jogar na relação que tinhamos lá em cima:

∫ C F → ∙ d r → = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A - ∫ γ F → ∙ d r →

⇒ ∫ C F → ∙ d r → = 8 15 - - 2 3 = 18 15

= 6 5

Um resultado até simpático, eu diria... haha

Resposta

6 5

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2