Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

4) Seja C o hemisfério superior da circunferência x 2 + y 2 = 4 , percorrida com ponto inicial - 2 ,   0 e ponto final 2 ,   0 . O valor da integral de linha ∫ C   x 2 d x + y 2 d y é:

  1. 16 / 3
  2. - 3 / 8
  3. 3 / 8
  4. 4
  5. - 4

Passo 1

Para resolver essa integral de linha, como podemos utilizar o teorema de Green, já o campo não tem singularidades, e a famosa subtração...

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Como P = x 2 e Q = y 2 ...

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0

Passo 2

O teorema de Green nos fala...

∫ ∂ D   x 2 d x + y 2 d y = ∬ D   ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d A

As exigências do teorema são de que:

1º - Ter uma região D fechada e delimitando uma borda ∂ D . Se desenharmos a semicircunferência como manda o enunciado

percebemos que estamos lidando com uma curva aberta. Para fecha-la, vamos pegar esse segmento de reta paralela ao x , passando por y = 0 :

2º - O campo não pode ter singularidades. ok!

3º - As curvas devem estar girando no sentido anti-horário. Infelizmente isso não acontece então no teorema, vamos multiplicar a integral dupla por - ...

∫ ∂ D   x 2 d x + y 2 d y = - ∬ D   ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d A

Passo 3

Exigências sendo cumpridas, podemos aplicar essa igualdade:

∫ ∂ D   x 2 d x + y 2 d y = - ∬ D   ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d A

Repare que a borda da região D é composta pela curva C pela curva C 1 que adicionamos...

∫ C   x 2 d x + y 2 d y + ∫ C 1   x 2 d x + y 2 d y = - ∬ D   ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d A →

∫ C   x 2 d x + y 2 d y + ∫ C 1   x 2 d x + y 2 d y = - ∬ D   0   d A →

∫ C   x 2 d x + y 2 d y + ∫ C 1   x 2 d x + y 2 d y = 0 →

Se queremos a integral em C ...

∫ C   x 2 d x + y 2 d y = - ∫ C 1   x 2 d x + y 2 d y

Como C 1 , gira no sentido:

Podemos inverter isso se...

∫ C   x 2 d x + y 2 d y = ∫ - C 1   x 2 d x + y 2 d y

Prontinho! Basta calcular essa integral em cima de - C 1 (O segmento de reta girando no sentido de - 2 ,   0 para 2 ,   0 )

Passo 4

Para calcularmos essa integral, parametrizamos a curva C 1 ...

γ t = t ,   0

Como x = t e x varia do ponto - 2 ,   0 para 2 ,   0 ...

- 2 ≤ t ≤ 2

Agora, encontremos a derivada da parametrização...

γ ' t = 1 ,   0

Por último, substituir os termos da parametrização no campo de vetores...

F → = x 2 , y 2     →         F → γ t = t 2 ,   0

∫ - C 1   x 2 d x + y 2 d y = ∫ - 2 2 t 2 ,   0 ⋅ 1 ,   0 d t =

∫ - 2 2 t 2 d t = t 3 3 - 2 2 = 8 3 - - 8 3 = 16 3

Resposta

a ) 16 3

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2