UTFPR. Campus Pato Branco. Cálculo 3. Prova AV2. 2021.2. Questão 2.
Questão 2. Calcule , onde e é a curva parametrizada por , .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão temos que calcular a integral dado que e é a curva parametrizada por , onde varia entre e .
Aqui temos uma integral de linha no caso vetorial já que temos que calcular a integral de um vetor através de uma curva .
Para obter essa integral, vamos dizer que e a nossa primeira tentativa nesses casos, deve ser se podemos aplicar o Teorema de Green.
Tem ideia de como aplicar este teorema nesse caso? 🤔🤔
O Teorema de Green é calculado a partir da simplificação do campo vetorial que é dado, onde
Mas para isso, a região deve ser uma região fechada, então no nosso caso deve ser igual a .
Bora ver se nossa curva é fechada? 👀
Passo 2
Vamos testar substituindo por em e depois por
Agora para ...
Vemos que então vamos aplicar uma linha que sai de até e vamos chamar essa linha de .
Agora sim, podemos aplicar o Teorema de Green, adicionando a integral para a curva na equação
Isolando , que é a integral que queremos obter, temos
Calculando como vimos que e no passo 1, temos
Pelo método de derivação polinomial...
Logo
Substituindo no teorema...
A integral de é em qualquer situação, então
Entendeu essa parte? 😁
Passo 3
O que encontramos ao aplicar o Teorema de Green é que a integral de em é dado pela integral
Nesse caso, vamos desenvolver essa integral um pouco mais...
A reta que criamos liga os pontos e , ou seja, ela está contida em e varia de a . Podemos parametrizar como
Em que varia de a .
Vamos calcular como uma integral de linha
A integral de linha pode ser obtida a partir de uma transformação na integral
Derivando o vetor , vamos obter
Ou seja
Aplicando em substituindo por e por , temos
Está acompanhando? 👀
Passo 4
Substituindo na integral de linha, temos
e são os limites de integração, está indo de até , como vimos no passo anterior, então, e .
Calculando o produto interno de e ...
Substituindo na integral
Sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração, portanto
Aplicando os limites de intergação...
Por fim, se e , temos
Foi muito difícil? 👀👀
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
