Calcule para a curva com com ponto inicial e ponto final .
Passo 1
Bom, já deu para ver que calcular essa integral aí pela definição deve dar muito trabalho, né? Vamos tentar aplicar Green então. Temos:
Bom, como é uma expressão relativamente simples, quer dizer que estamos no caminho certo.
Passo 2
Pelo Teorema de Green, considerando uma curva fechada orientada no sentido anti-horário, temos:
Mas o problema pede a integral de linha na curva (uma circunferência) com ponto inicial e ponto final . Logo, não temos uma volta completa na circunferência, essa curva é aberta.
Então vamos fechá-la, com uma reta mesmo, que liga os pontos final e inicial, no mesmo sentido do arco:
Então, sendo a união do arco com a o segmento de reta e estando sentido contrário (orientado negativamente), pelo Teorema de Green, temos:
Mas como:
E como queremos a integral de linha em , não :
Onde é a região em cinza na figura acima. Então, para encontrar a integral que queremos, precisamos resolver a integral dupla e a integral de linha na reta.
Passo 3
Vamos começar pela integral dupla. Já que temos um setor circular, vamos usar coordenadas polares:
Como vemos pela figura, (pois o raio da circunferência é ). O intervalo do ângulo , nós podemos ver por trigonometria: já que o ponto final é , sabemos que começa em . Pela figura, podemos ver que o ângulo final é , então, .
Fazendo a mudança polar então, temos:
Agora vamos resolver isso aí:
Passo 4
Para parametrizar a reta devemos primeiro notar que ela é escrita como
Fazendo , teremos a seguinte parametrização
Agora pela orientação temos que vai de até .
Escrevendo o campo
Nas variáveis da parametrização, temos:
Podemos, então, substituir os valores que encontramos na fórmula abaixo:
Passo 5
Agora vamos substituir os valores que encontramos para calcular o que o problema pediu: