Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

17) Calcule as seguintes integrais:

d)

∫ C   e x ln ⁡ y - 2 y d x + y - 1 e x d y

Onde C é o arco de parábola y = x 2 + 1 , orientado de - 1 ,   2 a 1 ,   2 .

Passo 1

Bem, perceba que nesse problema o enunciado não nos disse como essa integral de linha deve ser feita, porém... Repare que o campo que estamos trabalhando é

F → x ,   y = e x ln ⁡ y - 2 y ,   y - 1 e x

e ele é chato!

Isso é uma sugestão que devemos utilizar o teorema de Green para matar o problema, mas para você ter certeza se é Green ou não, calculemos

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

As derivadas parciais são...

∂ F 2 ∂ x = ∂ y - 1 e x ∂ x = e x y

∂ F 1 ∂ y = ∂ e x ln ⁡ y - 2 y ∂ y = e x y - 2

logo

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = e x y - e x y + 2

= 2

De fato é muito simples essa subtração nos indicando que de fato estamos lidando com Green

Passo 2

O teorema de Green nada mais é do que essa igualdade mara entre a integral de linha com uma integral dupla:

∮ ∂ D   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:

1º - Uma região fechada D que tem com borda, a curva fechada ∂ D .

2º - Orientadas positivamente.

3º - Um campo F → sem singularidades onde estamos trabalhando.

Vamos averiguar?

Passo 3

O primeiro, como vimos, nos diz que precisamos de uma curva fechada e delimitando uma região D .

Ora, a curva C , pelo próprio enunciado, é um pedaço da parábola y = x 2 + 1 onde o x varia de - 1 a 1:

Observe que infelizmente essa curva é aberta e não poderíamos aplicar o teorema. Por isso, nos devemos fecha-la com a curva mais simples que conseguirmos o que no caso é essa retinha verde aqui:

Repare que ela tem que está seguindo o fluxo e, além disso, ela delimita essa região fechada D :

Passo 4

Quanto ao orientada positivamente, está ok, pois a curva gira no sentido anti-horário e em relação ao campo sem singularidades também ok, afinal o nosso campo é:

F → x ,   y = e x ln ⁡ y - 2 y ,   y - 1 e x

e ele não tem nenhum “bug” onde estamos trabalhando que é onde os pontos estão positivos ;D

Passo 5

Condições do Teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa boa:

∮ ∂ D   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Bem, cuidado que aqui tem um detalhe muito importante! Se você reparar a região D com mais cuidado,

verá que a fronteira dele é a curva C em vermelho e a curva verde que vamos chamar de C 1 , logo...

∮ ∂ D   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A       →           ∫ C   F → d r → + ∫ C 1   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A   →

∫ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A - ∫ C 1   F → d r →

Se queremos a integral de linha em C , calculemos essas integrais do lado direito e tá tudo certo (hehe ). Bora?

Passo 6

Primeiro, vamos resolver a integral dupla:

∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A = ∬ D   2   d A

A região D

pode ser descrita como do tipo 1 ...

- 1 ≤ x ≤ 1

e y ...

x 2 + 1 ≤ y ≤ 2

∬ D   2   d A = 2 ∫ - 1 1 ∫ x 2 + 1 2 d y d x →

2 ∫ - 1 1 ∫ x 2 + 1 2 d y d x = 2 ∫ - 1 1 2 - x 2 - 1 d x =

2 ∫ - 1 1 1 - x 2 d x = 2 x - x 3 3 - 1 1 =

2 1 - 1 3 - - 1 + 1 3 =

2 2 - 2 3 = 8 3

Passo 7

Fazendo agora a integral de linha

∫ C 1   F → d r →

em cima da reta C 1 que adicionemos...

  • Precisamos de C 1 parametrizada:
  • y = 2

    x = - t

    ou

    γ t = - t ,   2

    como estamos sando de - 1 ,   2 e indo para 1 ,   2 , x varia de - 1 a 1 , logo...

    - 1 ≤ t ≤ 1

  • O termo d r → é...
  • d r → = γ ' t d t

    d r → = - 1 ,   0 d t

  • Não se esqueça de trocar os termos da função F → ...

F → = e x ln ⁡ y - 2 y ,   y - 1 e x   →       F → = e - t ln ⁡ 2 - 4 , e - t 2

Substituindo na integral de linha...

∫ C 1   F → d r → = ∫ - 1 1 e - t ln ⁡ 2 - 4 , e - t 2 ⋅ - 1 ,   0 d t →

∫ - 1 1 - e - t ln ⁡ 2 + 4   d t =

ln ⁡ 2 ∫ - 1 1 - e - t d t + ∫ - 1 1 4   d t =

ln ⁡ 2 e - t - 1 1 + 8 =

ln ⁡ 2 e - 1 - e + 8

Passo 8

Voltando ao teorema de Green...

∫ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A - ∫ C 1   F → d r →

e substituindo esses resultados paralelos...

∫ C   F → d r → = 8 3 - ln ⁡ 2 e - 1 - e + 8 =

e - e - 1 ln ⁡ 2 - 16 3

Resposta

d )     e - e - 1 ln ⁡ 2 - 16 3

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2