Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Seja C uma curva simétrica em relação ao eixo y , que vai de ( 4,0 ) a - 4,0 , como mostrada na figura abaixo. Sabendo-se que a área da região delimitada por C e o eixo x vale 16, calcule o trabalho realizado pela força

F → x , y = x 2 4 + x y 3 i → + 2 x + arctan ⁡ y j →

Passo 1

De cara sabemos aqui que vamos precisar usar o teorema de Green, pois veja que as únicas informações que o enunciado nos deu foi que a função é simétrica e que a área é 16. O teorema de Green nos diz que

∫ C F → d r → = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y

O primeiro problema é que essa curva C deveria ser fechada, que não é o nosso caso. Vamos ter que fecha-la antes de começar a usar o teorema.

A forma mais simples de fechar uma curva é simplesmente ligar os ponto, ou seja, criar uma reta C 1 de - 4,0 até 4,0 , olha o esboço

O teorema vai ficar assim, então

∫ C F → d r → + ∫ C 1 F → d r → = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y

Vamos fazer essa integral de linha e essa dupla passo a passo aqui com bastante calma pra você enteder tudo, vamos nessa?

Passo 2

Vamos começar aqui pela integral de linha

∫ C 1 F → d r →

Precisamos primeiramente de uma parametrização de C 1 , sabemos que ela é uma reta que liga - 4,0 até 4,0 , podemos parametrizar isso aí assim

x = t

y = 0

- 4 ≤ t ≤ 4

O campo F → com esses parâmetros fica assim

F → x , y = x 2 4 + x y 3 i → + 2 x + arctan ⁡ y j →

F → = t 2 4 + t 0 3 i → + 2 t + arctan ⁡ 0 j →

Essa função não é muito comum pra gente, arctan ⁡ 0 . Quando você se deparar com essas funções, faz como se fosse uma pergunta pra você mesmo. Nesse caso seria: “Qual o arco(ângulo) cuja tangente é zero?”

Sabemos que somento o ângulo 0 tem tal tangente, portanto

arctan ⁡ 0 = 0

Voltando para o nosso campo

F → = t 2 4 i → + 2 t j → = t 2 4 , 2 t

Beleza, precisamos ainda da derivada da parametrização da reta

σ t = t , 0

σ ' t = 1,0

Juntando tudo na integral de linha

∫ - 4 4 t 2 4 , 2 t 1,0 d t = ∫ - 4 4 t 2 4 d t

Passo 3

Agora é só calcular essa integral

∫ - 4 4 t 2 4 d t = t 3 12 - 4 4

= 4 3 12 - - 4 3 12 = 16 3 + 16 3 = 32 3

∫ C 1 F → d r → = 32 3

Passo 4

Beleza, vamos agora pra parte mais difícil, essa integral dupla aqui

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y

Vamos começar vendo quanto é esse termo ai de dentro

F → x , y = x 2 4 + x y 3 i → + 2 x + arctan ⁡ y j →

∂ Q ∂ x = 2

∂ P ∂ y = 3 x y 2

Então a nossa integral dupla vai ficar

∬ D 2 - 3 x y 2 d x d y

Separando isso aí um pouquinho

∬ D 2 - 3 x y 2 d x d y = 2 ∬ D 1 d x d y ⏟ Á r e a - 3 ∬ D x y 2 d x d y

Olha que bom! Apareceu a tal área que o enunciado tinha falado pra gente que valia 16

2 ∬ D 1 d x d y = 2 16 = 32

Beleza, mas ainda tá faltando aquele termo ali que não faço ideia como integrar! Como faz isso?

Aqui é que entra uma sacada que a questão fala e a gente quase sempre ignora: o enunciado disse que a curva C é simétrica em relação ao eixo y , isso quer dizer que

x ≥ 0 → x = f y

x ≤ 0 → x = - f y

Colocando o esboço aqui pra você entender melhor

Esse lado direito da função seria x = f y , enquanto esse lado esquerdo seria x = - f ( y ) , faz sentido certo? Se a gente definir essa região pelo tipo I I fica assim

- f y ≤ x ≤ f y

E quais seriam os limites de y ? Bom, vamos ver que isso não importa muito, vamos deixar como

0 ≤ y ≤ y M A X

Onde y M A X é aquele ponto máximo de y que não sabemos o valor. A integral fica

3 ∫ 0 y M A X ∫ - f y f y x y 2 d x d y

Passo 5

Vamos começar a integrar isso aí, então

3 ∫ 0 y M A X x 2 y 2 2 x = - f y x = f y d y =

= 3 ∫ 0 y M A X y 2 2 f y 2 - - f y 2 d y =

= 3 ∫ 0 y M A X y 2 2 f 2 y - f 2 y d y =

= 3 ∫ 0 y M A X y 2 2 0 d y = 0

Por isso que não importa muito qual o valor máximo de y , a integral de zero, pra qualquer limite, é igual a zero!

Passo 6

Beleza, então, pra fechar essa integral dupla

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y = ∬ D 2 d x d y - 3 ∬ D x y 2 d x d y

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y = 32 - 0 = 32

Passo 7

Voltando para o teorema de Green que escrevemos la em cima

∫ C F → d r → + ∫ C 1 F → d r → = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y

∫ C F → d r → + 32 3 = 32

∫ C F → d r → = 32 - 32 3 = 96 - 32 3

∫ C F → d r → = 64 3

Resposta

64 3

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2