Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Seja γ uma curva simples C 1 por partes, contida no conjunto aberto:

U = { ( x , y ) ∈ R 2 | x > 0 ,   y > 0 }

Com exceção no ponto inicial A = ( 1,0 ) e do ponto final B = ( 2,0 ) . Supondo que a área limitada pela curva γ e pelo eixo cartesiano x é dada por π , calcule:

∫ γ   6 y + 4 x 2 + y 2 - y   d x + x   d y x 2 + y 2

Passo 1

Como não temos a equação que descreve a curva γ para utilizar a definição de integral de linha, a única saída aqui é aplicar o Teorema de Green. Mas primeiro temos que analisar a orientação da curva e ver se ela é fechada.

Vamos fazer um esboço dessa curva γ . Sabemos que ela vai do ponto ( 1,0 ) ao ponto ( 2,0 ) , sempre com x > 0 e y > 0 , ou seja, não é fechada. Como temos o valor da área entre essa curva que o eixo x , vamos fechá-la com um segmento de reta σ desse eixo, criando um domínio D cuja área conhecemos. Mas ainda temos um problema: podemos orientar positivamente o segmento de reta, mas a curva γ está orientada no outro sentido pelo próprio enunciado.

O que nós queremos é γ _ (a mesma curva, com orientação oposta). Teremos:

∫ γ _   F ⋅ d r + ∫ σ   f ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y   d x d y

Mas nós já vimos que quando invertemos a orientação de uma curva temos:

∫ γ _   F ⋅ d r = - ∫ γ   F ⋅ d r

Então podemos reescrever:

- ∫ γ   F ⋅ d r + ∫ σ   f ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

∫ γ   F ⋅ d r = ∫ σ   f ⋅ d r - ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Passo 2

O campo vetorial pode ser escrito como F = 6 y + 4 - y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x x 2 + y 2 = x 2 + y 2 - x ( 2 x ) x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y 6 y + 4 - y x 2 + y 2 = 6 - x 2 + y 2 - y ( 2 y ) x 2 + y 2 2 = 6 + ( - x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - 6

Passo 3

Aplicando o teorema de Green, temos:

- ∫ γ   F ⋅ d r + ∫ σ   f ⋅ d r = ∬ D   - 6 d x d y = - 6 ∬ D   d x   d y ⏟ Área de   D

Conforme dito no enunciado, a área entre a curva e o eixo vale π . Assim, temos que

- ∫ γ   F ⋅ d r + ∫ σ   f ⋅ d r = - 6 π

Agora precisamos calcular a integral ao longo de σ .

Passo 4

Temos um segmento de reta em que y = 0 e x varia entre 1 e 2 , portanto, podemos parametrizá-lo assim:

σ → = ( x , 0 )

1 ≤ x ≤ 2

Derivando essa parametrização, temos:

σ → ' = ( 1,0 )

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula que vimos capítulo passado:

∫ a b F x t ,   y t ⋅ σ → ' t   d t

∫ 1 2 0 + 4 - 0 ,   x x 2 + 0 ⋅ 1,0 d x =

= ∫ 1 2 4 d x =

= 4 x 1 2 = 4

Passo 6

O que queremos é a integral sobre γ ,então, vamos substituir esses valores em:

∫ γ   F ⋅ d r = ∫ σ   f ⋅ d r - ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

∫ γ   F ⋅ d r = 4 - - 6 π =

Resposta

6 π + 4

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2