Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Questão 3:

Seja F o campo vetorial plano

F x ,   y = 3 x 2 sin ⁡ x 3 - y + 8 + 3 y ,   - sin ⁡ x 3 - y + 8

e seja C o caminho orientado dado pela concatenação das curvas regulares orientadas C 1 , C 2 e C 3 , onde C 1 é o segmento que parte do ponto 0 ,   8 e vai até 2 ,   8 , C 2 é o arco da curva y = x - 2 3 + 8 , partindo de 2 ,   8 até o segmento que parte de 0 ,   0 até - 2 ,   0 .

Calcule ∫ C   F d r .

Dica: Feche o caminho C com um arco da curva y = x 3 + 8 indo de - 2 ,   0 até 0 ,   8 para obter um caminho simples.

Passo 1

Uma integral de linha sempre nos dá vários caminhos para escolher:

1º - Resolução pelo Método Direto.

2º - Resolução pelo Teorema de Green.

Quero que você entenda aqui que não vamos resolver pelo método direto e quero que você entenda também o porquê: primeiro porque o campo é muito complicado

F x ,   y = 3 x 2 sin ⁡ x 3 - y + 8 + 3 y ,   - sin ⁡ x 3 - y + 8

Segundo porque a curva C , junção de outras três, mesmo sem esboçar já sabemos que não será algo elegante. E a terceira justificativa... É a famosa subtração de derivadas parciais:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Se ela for fácil, será a justificativa máxima para se aplicar Green. Então vamos calcula-lo?

Passo 2

Como o Q e P são...

F x ,   y = 3 x 2 sin ⁡ x 3 - y + 8 + 3 y ⏟ P ,   - sin ⁡ x 3 - y + 8 ⏟ Q

Calculando a primeira derivada parcial não se esquecendo da regra da cadeia...

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x - sin ⁡ x 3 - y + 8 =

- cos ⁡ x 3 - y + 8 ⋅ ∂ ∂ x x 3 - y + 8 =

- 3 x 2 cos ⁡ x 3 - y + 8

Calculando a segunda derivada...

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y 3 x 2 sin ⁡ x 3 - y + 8 + 3 y

3 x 2 cos ⁡ x 3 - y + 8 ⋅ ∂ ∂ y x 3 - y + 8 + 3 =

- 3 x 2 cos ⁡ x 3 - y + 8 + 3  

Calculando a subtração...

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = - 3 x 2 cos ⁡ x 3 - y + 8 - - 3 x 2 cos ⁡ x 3 - y + 8 + 3 =

- 3

Como a subtração foi 3 , muito simples, vamos de fato usar o teorema de Green :D!

Passo 3

O teorema de Green é...

∫ ∂ D   F → ⋅ d r → = ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A

Mas é claro, não podemos aplicar essa igualdade sem antes avaliar as condições do Teorema que nos exige:

1º - Uma região D fechada pela borda ∂ D .

2º - Orientada positivamente.

3º - Um campo sem singularidades.

Então vem comigo para averiguar isso aí mais de perto.

Passo 4

Bem, se desenharmos a curva C conforme o enunciado, vamos perceber que ela é uma curva aberta. Veja só...

A curva C 1 que é um segmento paralelo ao x que liga 0 ,   8   e   2 ,   8 ... C 2 é um pouquinho mais chato, pois se trata de um pedaço da curva cúbica... y = x - 2 3 + 8 , que une 2 ,   8 até o 0 ,   0 ... C 3 por fim é outro segmento que sai de 0 ,   0 e vai até - 2 ,   0 .

E pronto! Essa é a curva C . Ela é obviamente aberta, por isso vamos seguir a dica do problema e fecha-la com uma translação da curva C 2 , a y = x 3 + 8 ...

Sacou? Vamos chamar essa curva de C 4 . Mas lembre-se: Embora adicionamos a curva C 4 ao problema para aplicar o Teorema, ela não faz parte da curva que queremos a integral de linha, a curva C ;)

Então, como a borda da região D é C e C 4 ...

∫ ∂ D   F → ⋅ d r → = ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A   →

∫ C   F → ⋅ d r → + ∫ C 4   F → ⋅ d r → = ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A

Passo 5

Em relação ao orientada positivamente, a curva deveria estar girando no sentido anti-horário, mas você pode perceber que isso não acontece. Mas não se preocupe, porque corrigir isso é bem easy: basta multiplicar a integral dupla por - 1 ...

∫ C   F → ⋅ d r → + ∫ C 4   F → ⋅ d r → = ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A     →

∫ C   F → ⋅ d r → + ∫ C 4   F → ⋅ d r → = - ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A

Passo 6

A última condição se trata do campo não ter singularidades, o que já acontece belezinha:

F x ,   y = 3 x 2 sin ⁡ x 3 - y + 8 + 3 y ,   - sin ⁡ x 3 - y + 8

Afinal, ele não tem problema como uma divisão por z e r o ou coisa assim.

Passo 7

Assim, estando nas condições, podemos aplicar a igualdade do Teorema...

∫ C   F → ⋅ d r → + ∫ C 4   F → ⋅ d r → = - ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A

Como queremos calcular a integral de linha em cima de C , podemos isola-la...

∫ C   F → ⋅ d r → = - ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d V - ∫ C 4   F → ⋅ d r →

Passo 8

Vamos começar aqui então a calcular a integral tripla...

- ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A =

∬ D   3   d V = 3 ∬ D     d A

Bem, a integral dupla de 1 d A é a área de região D

Porém, como pode comprovar, não fazemos a menor ideia de como calcular isso, por isso, vamos resolver a integral mesmo descrevendo a região como do tipo 1 :

1º - y varia entre funções.

2º - x , entre números.

Mas repare que precisaremos separar em duas integrais iteradas, afinal em uma parte, o y varia de 0 até a curva C 4 e em outra parte, de C 2 até y = 8 :

  • Quando x ...
  • - 2 ≤ x ≤ 0

    o y ...

    C 3 ≤ y ≤ C 4   →

    Como a curva C 3 tem o y = 0 e a curva C 4 ... y = x 3 + 8 ...

    0 ≤ y ≤ x 3 + 8

  • Quando x ...

0 ≤ x ≤ 2

C 2 ≤ y ≤ C 1   →

x - 2 3 + 8 ≤ y ≤ 8

Com o primeiro intervalo, construímos...

∫ - 2 0 ∫ 0 x 3 + 8 d y d x

E com o segundo...

∫ 0 2 ∫ x - 2 3 + 8 8 d y d x

Assim...

- ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A = 3 ∫ - 2 0 ∫ 0 x 3 + 8 d y d x + ∫ 0 2 ∫ x - 2 3 + 8 8 d y d x

Passo 9

Calculando isso aí, começando pela primeira integral...

- ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A = 3 ∫ - 2 0 ∫ 0 x 3 + 8 d y d x + ∫ 0 2 ∫ x - 2 3 + 8 8 d y d x

- ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A = 3 ∫ - 2 0 x 3 + 8 d x + ∫ 0 2 ∫ x - 2 3 + 8 8 d y d x

- ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A = 3 x 4 4 + 8 x - 2 0 + ∫ 0 2 ∫ x - 2 3 + 8 8 d y d x

- ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A = 3 - - 2 4 4 + 8 - 2 + ∫ 0 2 ∫ x - 2 3 + 8 8 d y d x

- ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A = 3 12 + ∫ 0 2 ∫ x - 2 3 + 8 8 d y d x

Calculando a segunda integral dupla...

- ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A = 3 12 + ∫ 0 2 8 - x - 2 3 + 8 d x

- ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A = 3 12 + ∫ 0 2 x - 2 3 d x

- ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A = 3 12 + x - 2 4 4 0 2

- ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A = 3 12 + 2 - 2 4 4 - - 2 4 4

- ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y d A = 3 8 =

24

Passo 10

Então calculemos agora a integral de linha sobre a curva que adicionemos...

∫ C 4   F → ⋅ d r →

Primeiro precisamos de parametrizar C 4 . Como ele é uma cura com uma equação explícita...

y = x 3 + 8

Podemos parametrizar também de uma forma explicita:

x = t

y = t 3 + 8

Assim...

γ t = t ,   t 3 + 8

O parâmetro t , por ser x e x varia de - 2 a 0 ...

- 2 ≤ t ≤ 0

Encontrando o d r → ...

d r → = t ,   t 3 + 8 ' d t

d r → = 1 ,   3 t 2 d t

Substituindo também os termos da parametrização no campo vetorial...

F x ,   y = 3 x 2 sin ⁡ x 3 - y + 8 + 3 y ,   - sin ⁡ x 3 - y + 8

F γ t = 3 t 2 sin ⁡ t 3 - t 3 - 8 + 8 + 3 t 3 + 8 ,   - sin ⁡ t 3 - t 3 - 8 + 8

F γ t = 3 t 2 sin ⁡ 0 + 3 t 3 + 8 ,   - sin ⁡ 0 →

F γ t = 3 t 3 + 24 ,   0

Substituindo tudo na integral...

Passo 11

∫ C 4   F → ⋅ d r → = ∫ - 2 0 3 t 3 + 24 ,   0 ⋅ 1 ,   3 t 2 d t =

∫ - 2 0 3 t 3 + 24 d t

Calculando...

3 t 4 4 + 24 t - 2 0 =

- 3 - 2 4 4 + 24 - 2 =

36

Passo 12

Voltando então para a integral que queremos que vimos lá no inicio

∫ C   F → ⋅ d r → = - ∬ D   ∂ G 2 ∂ x - �� G 1 ∂ y d V - ∫ C 4   F → ⋅ d r →

∫ C   F → ⋅ d r → = 24 - 36 =

- 12

Resposta

- 12

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2