Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Questão 3: Considere o campo F x ,   y = 5 x + 3 x y + 2 x e x 2 + y + 2 ,   e x 2 + y + 2 + 5 x + sin ⁡ y e a curva regular por partes C = C 1 * C 2 * C 3 onde:

  • C 1 é o segmento de reta do ponto - 2 ,   - 6 até o ponto - 2 ,   6 .
  • C 2 é o arco da parábola de equação y = 2 + x 2 do ponto - 2 ,   6 até o ponto 2 ,   6 .
  • C 3 é o segmento de reta do ponto 2 ,   6 até o ponto 2 ,   - 6 .
  • Calcule

    ∫ C   F   d r

    Dica: Para aplicar o teorema de Green é necessário fechar a curva. Para facilitar partes das integrais, use a curva que faz com que a região limitada por sua fronteira seja simétrica em relação ao eixo x e ao eixo y .

    Passo 1

    Primeiro, para entendermos o problema, acho útil desenharmos a curva:

  • C 1 é o segmento de reta do ponto - 2 ,   - 6 até o ponto - 2 ,   6 .
  • C 2 é o arco da parábola de equação y = 2 + x 2 do ponto - 2 ,   6 até o ponto 2 ,   6 .
  • C 3 é o segmento de reta do ponto 2 ,   6 até o ponto 2 ,   - 6 .

Perceba que a curva C é uma composição bem louca, logo, para calcular a integral de linha seria interessante pensarmos no Teorema de Green:

∫ ∂ D   F   d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Passo 1

Porém, antes de aplicar essa igualdade para calcular a integral de linha, temos que verificar as hipóteses de Green:

  1. Primeiro, temos que ter uma curva fechada.
  2. Segundo, precisamos de uma orientação positiva.
  3. E por último, não podemos ter singularidades onde estamos trabalhando.

Ora, para começar, a nossa curva é aberta:

Então temos que fecha-la. Mas agora, qual curva é a mais ideal? Ora, para a curva ficar simétrica e facilitar a nossa vida, talvez seja útil uma parábola como essa:

Cuja equação é a simétrica de y = 2 + x 2 :

y = - 2 - x 2

Segundo, temos que verificar a orientação:

Para termos uma orientação positiva, temos que ter a curva girando no sentido anti-horário. No entanto, seguindo a orientação do enunciado, a nossa curva está no sentido horário! Então vamos ter que fazer uma pequena correção. Bom, seguindo em frente!

Por último, não podemos ter singularidades onde estamos trabalhando:

F x ,   y = 5 x + 3 x y + 2 x e x 2 + y + 2 ,   e x 2 + y + 2 + 5 x + sin ⁡ y

O que acontece perfeitamente, pois o campo não tem algum problema em nenhum lugar algum!

Passo 2

Assim, podemos aplicar a igualdade fazendo apenas uma correção de sinal. A igualdade vale para a curva orientada positivamente. Como ela está no sentido contrário, basta acrescentarmos um sinal negativo em um dos lados da equação:

∫ ∂ D   F   d r = - ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Mas, a borda ∂ D é a curva C em união com a curva que adicionamos, C 4 , logo:

∫ C   F   d r + ∫ C 4   F   d r = - ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A   →

∫ C   F   d r = - ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A - ∫ C 4   F   d r

Assim, se quisermos calcular a integral em C , basta calcularmos essas duas outras integrais!

Passo 3

Vamos primeiro calcular a integral dupla:

∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Onde:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ x e x 2 + y + 2 + 5 x + sin ⁡ y - ∂ ∂ y 5 x + 3 x y + 2 x e x 2 + y + 2 =

e x 2 + y + 2 ⋅ 2 x + 5 - 3 x + 2 x e x 2 + y + 2 ⋅ 1 =

5 - 3 x

Para calcular a integral dupla, ainda precisamos descrever a região D :

Podemos descrever a região D utilizando a descrição do Tipo 1 , onde o x varia entre números:

- 2 ≤ x ≤ 2

- x 2 - 2 ≤ y ≤ x 2 + 2

Logo:

∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A = ∫ - 2 2 ∫ - x 2 - 2 x 2 + 2 5 - 3 x   d y d x =

∫ - 2 2 5 - 3 x ∫ - x 2 - 2 x 2 + 2   d y d x = ∫ - 2 2 5 - 3 x x 2 + 2 - - x 2 - 2 d x =

∫ - 2 2 5 - 3 x 2 x 2 + 4 d x = ∫ - 2 2 10 x 2 + 20 - 6 x 3 - 12 x d x =

10 x 3 3 + 20 x - 6 x 4 4 - 6 x 2 - 2 2 =

10 2 3 3 + 20 2 - 6 2 4 4 - 6 2 2 - 10 - 2 3 3 + 20 - 2 - 6 - 2 4 4 - 6 - 2 2 =

Simplificando...

10 2 3 3 + 20 2 - 6 2 4 4 - 6 2 2 - - 10 2 3 3 - 20 2 - 6 2 4 4 - 6 2 2 =

2 10 2 3 3 + 20 2 = 2 80 3 + 40 =

2 80 3 + 120 3 = 400 3

Passo 4

Agora vamos calcular a integral em C 4 :

∫ C 4   F   d r

Temos que calcular do jeito tradicional:

  1. Parametrizar a curva:
  2. x = t

    y = - 2 - t 2

    Logo

    α t = t ,   - 2 - t 2 ,       c o m     t ∈ 2 , - 2

  3. Calcular o termo d s :
  4. d r = α ' t d t     →

    d r = 1 ,   - 2 t     d t  

  5. Substituir os termos da parametrização:

F x ,   y = 5 x + 3 x y + 2 x e x 2 + y + 2 ,   e x 2 + y + 2 + 5 x + sin ⁡ y →

F α t = 5 t + 3 t - 2 - t 2 + 2 t e t 2 - 2 - t 2 + 2 ,   e t 2 - 2 - t 2 + 2 + 5 t + sin ⁡ - 2 - t 2

∫ C 4   F   d r =

∫ 2 - 2 5 t + 3 t - 2 - t 2 + 2 t e t 2 - 2 - t 2 + 2 ,   e t 2 - 2 - t 2 + 2 + 5 t + sin ⁡ - 2 - t 2 1 ,   - 2 t d t =

∫ 2 - 2 5 t + 3 t - 2 - t 2 + 2 t e t 2 - 2 - t 2 + 2 - 2 t e t 2 - 2 - t 2 + 2 - 10 t 2 - 2 t sin ⁡ - 2 - t 2 d t =

∫ 2 - 2 5 t - 6 t - 3 t 3 - 10 t 2 - 2 t sin ⁡ - 2 - t 2 d t =

∫ 2 - 2 - t - 3 t 3 - 10 t 2 - 2 t sin ⁡ - 2 - t 2 d t =

- t 2 2 - 3 t 4 4 - 10 t 3 3 - cos ⁡ - 2 - t 2 2 - 2 =

- - 2 2 2 - 3 - 2 4 4 - 10 - 2 3 3 - cos ⁡ - 2 - - 2 2 - - 2 2 2 - 3 2 4 4 - 10 2 3 3 - cos ⁡ - 2 - 2 2 =

Simplificando

+ 10 2 3 3 - - 10 2 3 3 = 2 10 2 3 3 =

160 3

Passo 5

Concluímos então que:

∫ C   F   d r = - ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A - ∫ C 4   F   d r   →

∫ C   F   d r = - 400 3 - 160 3 =

- 560 3

Resposta

- 560 3

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2