Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Sejam F 1 → ,   F 2 → ,   F 3 → os campos vetoriais definidos como:

F 1 → x , y = sen ⁡ y   e x sen ⁡ y ,   x cos ⁡ y   e x sen ⁡ y ,   F 2 → x , y = 0 , x ,   F 3 → = F 1 → + F 2 →

Calcule

∫ γ F 3 → d r →

Sendo γ o arco da circunferência de raio 1 , que liga ( 0,0 ) a ( 0,2 ) com x ≥ 0

Passo 1

Vamos pensar o seguinte nessa questão, calcular essa integral de linha vai ser bem complicado principalmente por causa da complexidade do campo, né? Vamos tentar então usar o Teorema de Green. Para isso, precisamos calcular o rotacional de F 3 → que é a soma de F 1 → com F 2 → .

Tem um detalhe aqui que vai nos ajudar a organizar a questão. Existe uma propriedade que diz que “o rotacional da soma dos campos é igual a soma dos rotacionais”, em outras palavras:

r o t F 1 → + F 2 → = r o t   F 1 → + r o t   F 2 →

Precisamos então calcular esses dois rotacionais para depois usar o Teorema de Green, vamos lá?

Passo 2

Vamos então calcular o rotacional de F 1 → , primeiro derivamos Q em função de x , considerando y constante:

Q = x cos ⁡ y e x sen ⁡ y

Vamos ter que usar a regra do produto nessa derivada aqui, fica assim:

∂ Q ∂ x = cos ⁡ y e x sen ⁡ y + x sen ⁡ y e x sen ⁡ y

∂ Q ∂ x = cos ⁡ y e x sen ⁡ y + x sen ⁡ y cos ⁡ y e x sen ⁡ y

Agora derivando P em relação a y , considerando x constante:

P = sen ⁡ y e x sen ⁡ y

Também aplicando a regra do produto aqui:

∂ P ∂ y = cos ⁡ y e x sen ⁡ y + sen ⁡ y x cos ⁡ y e x sen ⁡ y

∂ P ∂ y = cos ⁡ y e x sen ⁡ y + x sen ⁡ y cos ⁡ y e x sen ⁡ y

Portanto, como as duas derivadas são iguais, nosso rotacional fica igual a zero!

r o t   F 1 → = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0

Passo 3

Vamos fazer o cálculo do rotacional de F 2 → agora! Derivando Q em relação a x :

Q = x

∂ Q ∂ x = 1

Derivando P em relação a y :

P = 0

∂ P ∂ y = 0

Logo o rotacional vai ser:

r o t   F 2 → = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 1 - 0

r o t   F 2 → = 1

Passo 4

Aplicando agora a propriedade da soma dos rotacionais, temos que:

r o t F 1 → + F 2 → = r o t   F 1 → + r o t   F 2 →

r o t F 3 → = 0 + 1 = 1

Pronto, agora é só aplicar o Teorema de Green! Para fazermos isso, vamos analisar nossa curva γ :

Vemos que ela não é fechada! Mas isso não é problema, já sabemos também que, em questões assim, podemos escolher uma curva simples para fechar a região e aplicar o Teorema de Green, é exatamente isso que faremos!

A curva mais simples para fechar essa região parece a reta que liga 2,0 a ( 0,0 ) , fica assim então:

Beleza, agora precisamos aplicar o Teorema de Green! Se você não lembra, seu enunciado é esse aqui:

∫ γ F 3 → d r → + ∫ γ 1 F 3 → d r → = ∬ D r o t   F 3 → . k → d x d y

Passo 5

Calculamos que o rotacional de F 3 → = 1 . Portanto nossa integral dupla fica:

∬ D 1 d x d y

Que nada mais é do que a área da nossa região! No caso, como temos uma semi-circunferência, nossa área fica:

A D = π r 2 2 = π 2

∬ D r o t   F 3 → . k → d x d y = π 2

Passo 6

Vamos para a outra integral que precisamos calcular, a da curva γ 1 que criamos. Para calcular sua integral de linha vamos primeiro escolher uma parametrização fácil! Como nossa curva é uma reta em que x = 0 , podemos parametrizar como:

x ( t ) = 0

y t = - t

- 2 ≤ t ≤ 0

γ 1 = ( 0 , - t )

Perceba que, para manter o sentido correto, precisamos fazer a nossa função de forma a y ir de y = 2 até y = 0 , por isso colocamos essa parametrização um pouco diferente.

Analisando o nosso campo vetorial F 3 → = F 1 → + F 2 → com a nossa nova parametrização:

P = sen ⁡ y   e x sen ⁡ y + 0

P t = sen ⁡ ( - t ) e 0 sen ⁡ - t = sen ⁡ - t = - sen ⁡ t

Q =   x cos ⁡ y   e x sen ⁡ y + x

Q = 0

Vamos então calcular a derivada na nossa curva γ 1 :

γ 1 = 0 , - t → γ 1 ' = ( 0 , - 1 )

Tendo isso, podemos agora calcular a integral de linha da nossa função:

∫ γ 1 F 3 → . d r → = ∫ γ 1 P t d x + Q t d y

= ∫ - 2 0 - sen ⁡ t . 0 + 0 . ( - t ) = 0

Passo 7

Pronto! Calculamos a nossa integral dupla e a integral da curva que usamos para fechar a região, voltando para o nosso Teorema de Green:

∫ γ F 3 → d r → + ∫ γ 1 F 3 → d r → = ∬ D F 3 → . k → d x d y

Conclui-se, com os resultados que tivemos lá em cima:

∫ γ F 3 → d r → = π 2

Resposta

π 2

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2