Calcule para a curva com com ponto inicial e ponto final .

Pelo Teorema de Green, considerando uma curva fechada orientada no sentido anti-horário, temos:

Mas o problema pede a integral de linha na curva (uma circunferência) com ponto inicial e ponto final . Logo, não temos uma volta completa na circunferência, essa curva é aberta.

Então vamos fechá-la, com uma reta mesmo, que liga os pontos final e inicial, no mesmo sentido do arco:

Então, sendo a união do arco com a o segmento de reta e igual a no sentido contrário, pois precisamos da curva orientada positivamente, temos:

Mas queremos a integral de linha em , não :

Onde é a região em cinza na figura acima. Então, para encontrar a integral que queremos, precisamos resolver a integral dupla e a integral de linha na reta.

Repare que o campo não possui indeterminação em .

Vamos começar pela integral dupla. Já que temos um setor, vamos usar coordenadas polares:

Como vemos pela figura, (pois o raio da circunferência é ). O intervalo do ângulo , nós podemos ver por trigonometria: já que o ponto final é , sabemos que começa em . Pela figura, podemos ver que o ângulo final é , então, .

Fazendo a mudança polar então, temos:

Agora vamos resolver isso aí:

Agora vamos resolver a integral de linha no segmento de reta. Vamos começar parametrizando o segmento, pelo método “”.

Primeiro calculamos um vetor paralelo à reta (no sentido do nosso segmento):

Agora multiplicamos esse vetor pelo parâmetro e somamos um ponto que pertença ao segmento. Bom, como ele passa pela origem, vamos escolher o ponto para simplificar as contas né:

O intervalo de é , pois com , temos o ponto inicial e com , o final .

Agora vamos derivar essa parametrização:

Escrevendo o campo

Nas variáveis da parametrização, temos:

Podemos, então, substituir os valores que encontramos na fórmula abaixo:

Agora vamos substituir os valores que encontramos para calcular o que o problema pediu: