Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Calcule ∫ γ   ( ln ⁡ 1 + y - x - y 3 ) d x + x 3 + 1 - ln ⁡ 1 + y - x d y para γ a curva x 2 + y 2 = 4 com y ≥ x com ponto inicial - 2 ,   - 2 e ponto final 2 ,   2 .

Passo 1

Bom, já deu para ver que calcular essa integral aí pela definição deve dar muito trabalho, né? Vamos tentar aplicar Green então. Temos:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 3 x 2 + 1 1 + y - x - - 3 y 2 + 1 1 + y - x

= 3 x 2 + 3 y 2

Bom, como é uma expressão relativamente simples, quer dizer que estamos no caminho certo.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, considerando C uma curva fechada orientada no sentido anti-horário, temos:

∫ c   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∬ D   3 x 2 + 3 y 2 d x d y

Mas o problema pede a integral de linha na curva x 2 + y 2 = 4 (uma circunferência) com ponto inicial - 2 ,   - 2 e ponto final 2 ,   2 . Logo, não temos uma volta completa na circunferência, essa curva é aberta.

Então vamos fechá-la, com uma reta mesmo, que liga os pontos final e inicial, no mesmo sentido do arco:

Então, sendo C a união do arco γ com a o segmento de reta r e C - igual a C no sentido contrário, pois precisamos da curva orientada positivamente, temos:

∫ c -   F ⋅ d r = ∫ γ -   F ⋅ d r + ∫ r -   F ⋅ d r = ∬ D   3 x 2 + 3 y 2 d x d y

∫ γ -   F ⋅ d r = ∬ D   3 x 2 + 3 y 2 d x d y - ∫ r -   F ⋅ d r

Mas queremos a integral de linha em γ , não γ - :

- ∫ γ   F ⋅ d r = - ∬ D   3 x 2 + 3 y 2 d x d y - - ∫ r   F ⋅ d r

∫ γ   F ⋅ d r = - ∬ D   3 x 2 + 3 y 2 d x d y - ∫ r   F ⋅ d r

Onde D é a região em cinza na figura acima. Então, para encontrar a integral que queremos, precisamos resolver a integral dupla e a integral de linha na reta.

Repare que o campo não possui indeterminação em D .

Passo 3

Vamos começar pela integral dupla. Já que temos um setor, vamos usar coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

Como vemos pela figura, 0 ≤ r ≤ 2 (pois o raio da circunferência é 2 ). O intervalo do ângulo θ , nós podemos ver por trigonometria: já que o ponto final é 2 ,   2 , sabemos que θ começa em π / 4 . Pela figura, podemos ver que o ângulo final é π 4 + π = 5 π 4 , então, π 4 ≤ θ ≤ 5 π 4 .

Fazendo a mudança polar então, temos:

= 3 ∬ D   x 2 + y 2 d x d y = 3 ∫ π / 4 5 π / 4 ∫ 0 2 r 2 r d r d θ

Agora vamos resolver isso aí:

= 3 ∫ π / 4 5 π / 4 r 4 4 0 2 d θ =

= 3 4 ∫ π / 4 5 π / 4 16 d θ =

= 12 θ π / 4 5 π / 4 =

= 12 π

Passo 4

Agora vamos resolver a integral de linha no segmento de reta. Vamos começar parametrizando o segmento, pelo método “ v e t o r × t + p o n t o ”.

Primeiro calculamos um vetor paralelo à reta x = y (no sentido do nosso segmento):

v → = ( - 1 , - 1 )

Agora multiplicamos esse vetor pelo parâmetro t e somamos um ponto que pertença ao segmento. Bom, como ele passa pela origem, vamos escolher o ponto ( 0,0 ) para simplificar as contas né:

r → = - 1 , - 1 t + 0,0

r → = - t , - t

O intervalo de t é - 2 ≤ t ≤ 2 , pois com t = - 2 , temos o ponto inicial 2 , 2 e com t = 2 , o final - 2 , - 2 .

Agora vamos derivar essa parametrização:

r ' → = - 1 , - 1

Escrevendo o campo

F x , y = ln ⁡ 1 + y - x - y 3 ) , x 3 + 1 - ln ⁡ 1 + y - x

Nas variáveis da parametrização, temos:

F x ( t ) , y ( t ) = ln ⁡ 1 - - t 3 ) , - t 3 + 1 - ln ⁡ 1

F x ( t ) , y ( t ) = t 3 , 1 - t 3

Podemos, então, substituir os valores que encontramos na fórmula abaixo:

∫ a b F x t ,   y t ⋅   σ → '   d t

= ∫ - 2 2 t 3 , 1 - t 3 ⋅ ( - 1 , - 1 )   d t =

= ∫ - 2 2 - t 3 - 1 + t 3   d t =

= - ∫ - 2 2   d t =

= - t - 2 2 =

= - 2 2

Passo 5

Agora vamos substituir os valores que encontramos para calcular o que o problema pediu:

∫ γ   F ⋅ d r = - ∬ D   3 x 2 + 3 y 2 d x d y - ∫ r   F ⋅ d r = - 12 π - - 2 2

∫ γ   F ⋅ d r = 2 2 - 12 π

Resposta

2 2 - 12 π

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2