Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Seja C uma curva orientada, composta dos segmentos de reta que ligam os pontos 0,0 a 0 , b , 0 , b a a , b , a , b a a , 0 , onde a e b são números reais positivos. Mostre que:

∫ C y f ' x d x + x + f x d y = - a b

Para qualquer função f de classe C 1 definida em todo R .

Passo 1

Essa questão tá bem estranha, né?

Não dá pra calcularmos direto porque não sabemos que função f x é essa, mas vamos tentar imaginar essa curva aí pra ver se temos alguma dica, se alguma coisa vai cancelar ou sei lá.

Ele só diz que a e b são positivos, então não dá pra saber exatamente onde que é cada ponto, mas, de forma geral, temos alguma coisa assim:

Que é mais ou menos um retângulo, só falta a base. Mas isso já é uma ótima dica, porque a área desse retângulo é exatamente a b , então provavelmente o que queremos provar é que:

∫ C y f ' x d x + x + f x d y = - a b = - A r e a D

E a gente sabe que a área também pode ser calculada por uma integral dupla, então:

∫ C y f ' x d x + x + f x d y = - ∬ D 1 d x d y

E o que a gente tem que relaciona uma integral dupla com uma integral de linha? O Teorema de Green!

Vamos tentar seguir esse caminho e ver se conseguimos resolver essa questão estranha...

Passo 2

Vamos lembrar do Teorema de Green:

∫ ∂ D F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Mas é importante saber que ele só vale pra curvas fechadas, não vai esquecer!

E como nossa C , curva não é fechada, então na verdade vamos ter que criar uma curva auxiliar C 1 , que de preferência vai ser o segmento pra fecharmos nosso retângulo. Só temos que tomar cuidado com a orientação, então vamos ter então:

C 1 : σ → t = - t , 0 ,   - a ≤ t ≤ 0

E, assim, vamos ter γ = C ∪ C 1 :

Só que assim γ tá orientada no sentido horário, e o teorema de Green manda a gente usar os sentido anti-horário, então vamos ter ∂ D = γ - e a integral fica:

∫ γ - F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

⇒ - ∫ C F 1 d x + F 2 d y - ∫ C 1 F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

⇒ ∫ C F 1 d x + F 2 d y = - ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y - ∫ C 1 F 1 d x + F 2 d y

Então, se conseguirmos provar que:

= - ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y - ∫ C 1 F 1 d x + F 2 d y = - a b

A gente consegue resolver a questão. Mas vamos ver como calcular cada uma dessas integrais.

Passo 3

Vamos começar com aquela integral dupla e pra isso vamos ver essas derivadas aí:

∂ F 2 ∂ x = ∂ x + f x ∂ x = 1 + f ' x

∂ F 1 ∂ y = ∂ y f ' x ∂ y = f ' x

Então:

= - ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = - ∬ D 1 d x d y = - A r e a D = - a b

Opa, estamos quase lá, só vamos ver como que fica aquela integral de linha ali.

Passo 4

A gente tem uma integral de linha vetorial, então vamos usar a fórmula:

∫ C 1 F 1 d x + F 2 d y = ∫ a b F 1 , F 2 ∙ σ → ' t d t

A gente já tem a parametrização, então vamos encontrar o vetor tangente:

σ → ' t = d x d t , d y d t = - 1,0

Então vamos ficar com:

∫ - a 0 0 f ' - t ,   - t + f - t ∙ ( - 1,0 ) d t

⇒ ∫ - a 0 0 + 0 d t = 0

Acho que foi, né? Vamos voltar aquela nossa relação pra conferir.

Passo 5

A gente tinha:

∫ C F 1 d x + F 2 d y = - ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y - ∫ C 1 F 1 d x + F 2 d y

⇒ ∫ C y f ' x d x + x + f x d y = - a b - 0

⇒ ∫ C y f ' x d x + x + f x d y = - a b

E conseguimos provar o que queríamos!

Mas que a questão era estranha, era...

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2