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Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

18) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças

F → x ,   y = 2 x e y - x 2 y - y 3 3 ,   x 2 e y + sin ⁡ y ,

ao mover uma partícula ao longo da trajetória C dada por r → t = 1 + cos ⁡ t , sin ⁡ t , 0 ≤ t ≤ π .

Passo 1

Ele quer o valor do trabalho e sabemos que um trabalho a essa altura do campeonato é nos dado por...

W = ∫ C F → ∙ d s →

Porém, o campo que estamos trabalhando não é nada elegante para resolver essa integral de uma forma direta, por isso pensaremos no teorema de Green. Para adquirirmos certeza, calculemos:

F → x ,   y = 2 x e y - x 2 y - y 3 3 ,   x 2 e y + sin ⁡ y = F 1 ,   F 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

As derivadas parciais são...

∂ F 2 ∂ x = ∂ x 2 e y + sin ⁡ y ∂ x = 2 x e y

∂ F 1 ∂ y = ∂ 2 x e y - x 2 y - y 3 3 ∂ y = 2 x e y - x 2 - y 2

logo

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2 x e y - 2 x e y - x 2 - y 2 =

= x 2 + y 2

De fato é muito simples essa subtração nos indicando que de fato estamos lidando com Green

Passo 2

O teorema de Green nada mais é do que essa igualdade mara entre a integral de linha com uma integral dupla:

∮ ∂ D   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:

1º - Uma região fechada D com a borda sendo a curva ∂ D .

2º - Orientada positivamente.

3º - Um campo F → sem singularidades onde estamos trabalhando.

Vamos averiguar?

Passo 3

O primeiro nos diz que precisamos de uma curva fechada e delimitando uma região D .

Ora, a curva C , pelo próprio enunciado, está parametrizada:

r → t = 1 + cos ⁡ t , sin ⁡ t ,       0 ≤ t ≤ π

Para desenhar essa curva, voltemos com as coordenadas cartesianas:

x = 1 + cos ⁡ t

y = sin ⁡ t

Essa parametrização é de uma circunferência de raio 1 e deslocada de uma unidade em x . Se você não se lembra...

x = 1 + cos ⁡ t y = sin ⁡ t         ⇒           x - 1 = cos ⁡ t y = sin ⁡ t         ⇒             x - 1 2 = cos 2 ⁡ t y 2 = sin 2 ⁡ t         ⇒

Somando ambas as partes...

⇒         x - 1 2 + y 2 = cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t       ⇒

Como cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 ...

x - 1 2 + y 2 = 1

Como t varia de 0 até π ...

sin ⁡ t ≥ 0         ⇒             y ≥ 0

Logo, a curva C é apenas esse pedacinho de circunferência aqui:

Veja também que ela é uma curva aberta, por isso vamos fecha-la com essa reta verde que chamaremos de C 1 :

Passo 4

Em relação a estar orientada positivamente, note que a região gira toda no sentido anti-horário, portanto positivamente .

E o campo F → que estamos trabalhando...

F → x ,   y = 2 x e y - x 2 y - y 3 3 ,   x 2 e y + sin ⁡ y

Não tem um problema em nenhum lugar, o que nos garante que ele já está sem singularidades !

Passo 5

Condições do Teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa boa:

∮ ∂ D   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Bem, cuidado que aqui tem um detalhe muito importante! Se você reparar a região D com mais cuidado,

verá que a fronteira dele é a curva C em azul e a curva verde que vamos chamar de C 1 , logo...

∮ ∂ D   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A       →           ∫ C   F → d r → + ∫ C 1   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A   →

∫ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A - ∫ C 1   F → d r →

Se queremos a integral de linha em C , calculemos essas integrais do lado direito e tá tudo certo (hehe ). Bora?

Passo 6

Primeiro, vamos resolver a integral dupla:

∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A = ∬ D   x 2 + y 2   d A

Como estamos dentro de uma semicircunferência e integrando coisas ao quadrado... Coordenadas Polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

J = r

x 2 + y 2 = r 2

Bora encontrar os limites então?

Passo 7

Bem, note que essas coordenadas polares são essas aqui oh:

Portanto o θ , comparando com a região...

Gira de 0 percorrendo até 90 ° , saca?

0 ≤ θ ≤ π 2

Enquanto que o r varia da origem até a circunferência azul...

0 ≤ r ≤ c i r c u n f e r ê n c i a

A circunferência, como vimos, tem equação...

x - 1 2 + y 2 = 1     ⇒         x 2 - 2 x + 1 + y 2 = 1   ⇒

⇒         x 2 + y 2 = 2 x     ⇒

Substituindo as polares...

⇒       r 2 = 2 r cos ⁡ θ       ⇒         r = 2 cos ⁡ θ

Logo...

0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ

Passo 8

Voltando para a integral dupla...

∬ D   x 2 + y 2   d A

e substituindo tudo tomando cuidado para não se esquecer de multiplicar pelo Jacobiano:

∬ D   x 2 + y 2   d A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 2 ⋅ J   d r d θ =

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 3 d r d θ

Calculando a integral de dentro...

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 3 d r d θ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 3 d r d θ =

∫ 0 π 2 r 4 4 0 2 cos ⁡ θ d θ = 1 4 ∫ 0 π 2 2 cos ⁡ θ 4 d θ =

4 ∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ θ d θ = 4 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ 2 d θ

Como cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 ...

4 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 2 d θ = 4 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 4 d θ =

∫ 0 π 2 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ   d θ =

∫ 0 π 2 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + 1 + cos ⁡ 4 θ 2   d θ =

∫ 0 π 2 3 2 + 2 cos ⁡ 2 θ + cos ⁡ 4 θ 2   d θ = 3 2 θ + 2 sin ⁡ 2 θ 2 + 1 2 sin ⁡ 4 θ 4 0 π 2 =

Todos os senos zeraram para os dois limites, logo...

3 2 ⋅ π 2 = 3 π 4

Passo 9

Fazendo agora a integral de linha

∫ C 1   F → d r →

em cima da reta C 1 que adicionemos...

  • Precisamos de C 1 parametrizada:

    • y = 0

    x = t

    ou

    γ t = t ,   0

    Como o raio é 2 e estamos saindo da origem...

    0 ≤ t ≤ 2

  • O termo d r → é...

    • d r → = γ ' t d t

    d r → = 1 ,   0 d t

  • Não se esqueça de trocar os termos da função F → ...

F → = 2 x e y - x 2 y - y 3 3 ,   x 2 e y + sin ⁡ y   →       F → = 2 t   ,   t 2

Substituindo na integral de linha...

∫ C 1   F → d r → = ∫ 0 2 2 t   ,   t 2 ⋅ 1 ,   0 d t →

∫ 0 2 2 t   d t = 2 t 2 2 0 2 = 4

Passo 10

Voltando ao teorema de Green...

∫ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A - ∫ C 1   F → d r →

e substituindo esses resultados paralelos...

∫ C   F → d r → = 3 π 4 - 4

Resposta

3 π 4 - 4

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2