Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

17) Calcule as seguintes integrais:

c)

∫ C   2 x ln ⁡ y + x 2 - 3 y d x + ln ⁡ y + x 2 - 2 x d y

Onde C é a poligonal aberta que une os pontos 2 ,   0 , 2 ,   2 e 1 ,   0 , nesta ordem.

Passo 1

Bem, perceba que nesse problema o enunciado não nos disse como essa integral de linha deve ser feita, porém... Repare que o campo que estamos trabalhando é

F → x ,   y = 2 x ln ⁡ y + x 2 - 3 y ,   ln ⁡ y + x 2 - 2 x

e ele é chato!

Isso é uma sugestão que devemos utilizar o teorema de Green para matar o problema, mas para você ter certeza se é Green ou não, calculemos

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

As derivadas parciais são...

∂ F 2 ∂ x = ∂ ln ⁡ y + x 2 - 2 x ∂ x = 1 y + x 2 ⋅ 2 x - 2

∂ F 1 ∂ y = ∂ 2 x ln ⁡ y + x 2 - 3 y ∂ y = 2 x y + x 2 - 3

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∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1 y + x 2 ⋅ 2 x - 2 - 1 y + x 2 ⋅ 2 x + 3

= 1

De fato é muito simples essa subtração nos indicando que de fato estamos lidando com Green

Passo 2

O teorema de Green nada mais é do que essa igualdade mara entre a integral de linha com uma integral dupla:

∮ ∂ D   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:

1º - Uma região fechada D que tem com borda, a curva fechada ∂ D .

2º - Orientadas positivamente.

3º - Um campo F → sem singularidades onde estamos trabalhando.

Vamos averiguar?

Passo 3

O primeiro, como vimos, nos diz que precisamos de uma curva fechada e delimitando uma região D .

Ora, a curva C , pelo próprio enunciado, é a poligonal aberta que une esses pontos...

nesse sentido!

Observe que infelizmente essa curva é aberta e não poderíamos aplicar o teorema. Por isso, nos devemos fecha-la com a curva mais simples que conseguirmos o que no caso é essa retinha verde aqui:

Repare que ela tem que está seguindo o fluxo e, além disso, ela delimita essa região fechada triangular D :

Passo 4

Quanto ao orientada positivamente, está ok, pois a curva gira no sentido anti-horário e em relação ao campo sem singularidades também ok, afinal o nosso campo é:

F → x ,   y = 2 x ln ⁡ y + x 2 - 3 y ,   ln ⁡ y + x 2 - 2 x

e ele não tem nenhum “bug” onde estamos trabalhando que é onde os pontos estão positivos ;D

Passo 5

Condições do Teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa boa:

∮ ∂ D   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Bem, cuidado que aqui tem um detalhe muito importante! Se você reparar a região D com mais cuidado,

verá que a fronteira dele é a curva C em vermelho e a curva verde que vamos chamar de C 1 , logo...

∮ ∂ D   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A       →           ∫ C   F → d r → + ∫ C 1   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A   →

∫ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A - ∫ C 1   F → d r →

Se queremos a integral de linha em C , calculemos essas integrais do lado direito e tá tudo certo (hehe ). Bora?

Passo 6

Primeiro, vamos resolver a integral dupla:

∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A = ∬ D     d A

Epa! Integral dupla de 1   d A é a área A ! Como a região D é camarada...

sua área é:

∬ D     d A = A = b ⋅ h 2

Onde b é a base do triângulo e é b = 1 . Enquanto ao h , sua altura... h = 2 :

∬ D     d A = 2 2 = 1

Passo 7

Fazendo agora a integral de linha

∫ C 1   F → d r →

em cima da reta C 1 que adicionemos...

  • Precisamos de C 1 parametrizada:
  • y = 0

    x = t

    ou

    γ t = t ,   0

    como estamos sando de 1 ,   0 e indo para 2 ,   0 , x varia de 1 a 2 , logo...

    1 ≤ t ≤ 2

  • O termo d r → é...
  • d r → = γ ' t d t

    d r → = 1 ,   0 d t

  • Não se esqueça de trocar os termos da função F → ...

F → = 2 x ln ⁡ y + x 2 - 3 y ,   ln ⁡ y + x 2 - 2 x   →       F → = 2 t ln ⁡ t 2 ,   ln ⁡ t 2 - 2 t

Substituindo na integral de linha...

∫ C 1   F → d r → = ∫ 1 2 2 t ln ⁡ t 2 ,   ln ⁡ t 2 - 2 t ⋅ 1 ,   0 d t →

∫ 1 2 2 t ln ⁡ t 2   d t =

Podemos calcular essa integral ai fazendo uma integração por partes...

ln ⁡ t 2 = u                     d u = 2 t d t

d v = 2 t   d u                           v = t 2

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ 2 t ln ⁡ t 2   d t = t 2 ln ⁡ t 2 - ∫ t 2 2 t d t

∫ 2 t ln ⁡ t 2   d t = t 2 ln ⁡ t 2 - ∫ 2 t   d t

∫ 2 t ln ⁡ t 2   d t = t 2 ln ⁡ t 2 - t 2

Voltando para a definida...

∫ 1 2 2 t ln ⁡ t 2   d t = t 2 ln ⁡ t 2 - t 2 1 2 =

2 2 ln ⁡ 2 2 - 2 2 - ln ⁡ 1 - 1

8 ln ⁡ 2 - 3

Passo 8

Voltando ao teorema de Green...

∫ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A - ∫ C 1   F → d r →

e substituindo esses resultados paralelos...

∫ C   F → d r → = 1 - 8 ln ⁡ 2 - 3 =

4 - 8 ln ⁡ 2

Resposta

c )     4 - 8 ln ⁡ 2

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2