UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 3.3.3a
Considere para .
(a) Mostre que é invertível e calcule ;
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que a função é invertível e calcular a derivada da inversa dela em .
Pra determinar se é invertível, vamos usar o Teorema da Função Inversa, que diz que se é derivável e , então possui inversa. Além disso, temos a relação entre as derivadas das funções:
A partir dessa relação vamos encontrar .
Vamos lá!
Passo 2
Derivando , usando a regra da cadeia, temos:
Como a derivada é positiva para todo , a função é crescente e portanto injetiva. Assim, pelo Teorema da Função Inversa, possui inversa.
Passo 3
Agora, como a gente quer encontrar , vamos verificar o valor da função quando :
Calculando a tangente dos dois lados, temos:
Colocando em evidência:
Pra que esse produto seja verdadeiro, temos ou . Mas a gente quer que , então, a nossa solução será apenas:
Assim, e .
Passo 4
Como a gente quer a derivada da inversa nesse ponto, vamos usar a relação:
Para e , teremos:
Encontrando em , temos:
Então, nossa inversa será:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉