UFCG – Cálculo Diferencial e Integral I – Listas Cálculo 1 - UAMat – Lista 2 - Derivadas – 17c
Determine a derivada:
c)
Passo 1
Fala, galera! Vamos responder essa questão.
O enunciado nos deu uma função trigonométrica inversa e pediu pra gente calcular a derivada dela. Lembra como a gente faz isso?
Calma, primeiro vamos lembrar que uma função inversa é uma função que faz o inverso da função . Então, se a inversa vai ser:
Tendo a função nessa forma, fica mais fácil derivar né? Porque nós conhecemos a derivada da função trigonométrica e a derivada de .
Assim, o que nós vamos fazer é derivar essa expressão dos dois lados, encontrar um e colocar em função de , depois aplicar o resultado na nossa função. Vamos fazendo que vai ficar mais claro! 😉
Passo 2
Da função , derivando dos dois lados, temos:
Repara que surge um ali, porque a gente faz a derivada da função de fora vezes a derivada do argumento (pela regra da Cadeia). Assim, isolando , nós temos:
Mas a gente quer que essa derivada fique em função de , não de . Então, o que nós podemos fazer é usar a identidade trigonómetrica:
Isolando :
Mas lembra que no passo nós definimos ? Então, substituindo:
Jogando isso lá na nossa derivada:
Essa é nossa “fórmula geral” pra derivada da inversa da função Só que o enunciado nos deu , então vamos lá!
Passo 3
Usando o resultado que nós obtevemos no passo ,
Nós podemos substituir no lugar do , já que esse é nosso argumento. Então:
Calculando a derivada de (que é o próprio ) em cima e elevando ao quadrado embaixo, temos:
Prontinho, encontramos nosso resultado.
Valeu, galera! 😉