Regras de Derivação II
Seja para
- A funçã0 é inversível?
- Determine uma expressão pra a função , a inversa de
- Calcule a derivada de em
Passo 1
Para sabermos se a função é inversível é só ver se a sua derivada vai ser sempre diferente de .
E vamos ter que essa derivada só vai ser em
Como esse valor não está incluído ela sempre vai ser diferente de
Passo 2
Para descobrirmos essa expressão devemos trocar o com o e achar o novo , assim
Nos temos
Vamos isolar o
Devemos fazer alguma coisa para chegar em sozinho, vamos fazer uns algebrismo loucos, primeiro vamos completar quadrados desse , para isso é só somar nos dois lados da equação
Vamos ter
Como ele disse que devemos ter esse cara com sinal de na raiz
Essa é a nossa função inversa, então vamos ter
Trocamos o com só para mantermos o mesmo eixo de coordenadas e ficar tudo bonitinho.
Passo 3
Vamos aplicar o teorema da função inversa
Vamos trocar isso aí porque ele quer a derivada da inversa e temos a derivada de
Ele quer isso nos diz que vamos achar o valor de para isso
Como o valor de , vamos ter
Passo 4
Agora que sabemos o valor de podemos aplicar o teorema da função inversa
Vamos ter
A derivada de vai ser