Sejam , e funções reais de classe , com uma função inversível e
Calcule em termos de , , , e . Justifique sua resposta.
Calcule sabendo que , , , , e . Justifique sua resposta.
Passo 1
Ele não perguntou sobre a existência da inversa, então vamos focar só na fórmula da derivada inversa.
Aqui vamos usar algumas regras de derivação, primeiro a regra do quociente
Precisamos achar essas derivadas
Passo 2
Vamos começar por
Bom, temos que sua derivada será dada por:
Se
Logo, teremos
Que ficará assim:
Passo 3
Vamos para
Usamos a Regra da Cadeia para chegar nisso:
Passo 4
Recapitulando, temos
E acabamos de calcular
Substituindo isso na equação que está ali no inicio desse passo
Ficou feio, eu sei. Mas no próximo item, vamos dar nomes aos bois!
Passo 5
Ele quer a derivada em um ponto, no caso
Vamos pegar a fórmula que achamos no fim do passo e trocar por .
Usando os dados do enunciado, temos:
, , , , e .
Agora eu te pergunto, por que ele deu o valor de , se estamos interessados no ponto
Ele deu esse ponto, por que nele a função assume o valor 0! Com isso, a sua função inversa no ponto 0, vai ser o valor do ponto em que a função que deu 0. Fica assim, ó:
Sabemos também que
(Um macete aqui, é que a função e no ponto 0, assume os mesmos valores que as funções e , no ponto 0).
Passo 6
Substituindo isso tudo, teremos: