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Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

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Enunciado

  1. Seja f x = x 3 - 3 x 2 - 1 , x ≥ 2 . Determine o valor de d f - 1 d x no ponto x = - 1 = f 3 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema pede para acharmos uma derivada função inversa. Para quem não lembra, podemos relacionar a derivada de f x com a derivada da sua função inversa da seguinte maneira:

f ' x = 1 f - 1 ' y

d y d x = 1 d x d y

Então vamos derivar!

Passo 2

Calculando f ' x

f x = x 3 - 3 x 2 - 1

f ' x = 3 x 2 - 6 x

Substituindo na fórmula, ficamo com

3 x 2 - 6 x = 1 d f - 1 d x

Ajeitando, temos

d f - 1 d x = 1 3 x 2 - 6 x

Passo 3

Mas repara que ele pede a derivada da função inversa no no ponto x = - 1 = f 3 .

Então precisamos encontrar que ponto é esse! Como f x = x 3 - 3 x 2 - 1 , x ≥ 2 , vamos calcular f 3 :

f 3 = 3 3 - 3 3 2 - 1 = - 1

Logo queremos

d f - 1 d x - 1 = 1 3 3 2 - 6 3 = 1 9

Resposta

1 9

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f (x) = int_x^2 t d t , x0 ; d = - 6
Calculec) cos (a r c s e n (- (sqrt(3))/(2)))
Calcule.j) a r c s e n (- (sqrt(3))/(2))
Calculed) s ec (a r c t g 1)
Calcule.d) a r c t g 1