UFCG – Cálculo Diferencial e Integral I – Listas Cálculo 1 - UAMat – Lista 2 - Derivadas – 17b
Determine a derivada:
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos responder essa questão.
O enunciado nos deu uma função trigonométrica inversa e pediu pra gente calcular a derivada dela. Lembra como a gente faz isso?
Calma, primeiro vamos lembrar que uma função inversa é uma função que faz o inverso da função . Então, se a inversa vai ser:
Tendo a função nessa forma, fica mais fácil derivar né? Porque nós conhecemos a derivada da função trigonométrica e a derivada de .
Assim, o que nós vamos fazer é derivar essa expressão dos dois lados, encontrar um e colocar em função de , depois aplicar o resultado na nossa função. Vamos fazendo que vai ficar mais claro! 😉
Passo 2
Da função , derivando dos dois lados, temos:
A derivada da é e a derivada de . Assim,
Repara que surge um ali, porque a gente faz a derivada da função de fora vezes a derivada do argumento (pela regra da Cadeia). Assim, isolando , nós temos:
Mas a gente quer que essa derivada fique em função de , não de . Então, o que nós podemos fazer é usar duas identidades trigonómetricas:
Porque substituindo na derivada nós teremos:
No lugar do a gente substitui a identidade :
Parece loucura, né? Mas confia que vai dar certo rs.
Vamos dividir todo mundo por agora, em cima e embaixo, e teremos:
Mas lembra que ? Então,
Já ta mais bonitinho, mas pode ficar ainda melhor, porque no passo nós definimos , certo? Então vamos substituir na derivada:
Olha só que beleza! Mas calma aí, o enunciado não pediu a derivada de ?
É verdade, e nós vamos usar esse resultado para calculá-la.
Passo 3
No passo a gente calculou a derivada de . A única coisa que muda em é o argumento da função, certo?
Então, se a gente chamar , vamos ter:
Que é calculada da mesma forma que no passo anterior, então:
Só que , substituindo isso de volta, temos:
E a mágica acontece.
A gente pode deixar o resultado dessa forma ou abrir essa potência na forma:
Prontinho, encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉