Considere a função
Onde é uma constante.
Mostre que restrita a possui uma inversa
Determine
Determine
Determine um valor de tal que seja inversível em
Passo 1
Para sabermos se a função é inversível é só ver se a sua derivada vai ser sempre diferente de . Para , vale:
Nessa situação, a derivada vale:
Repara que a função tem derivada para todo . Significa que ela é sempre decrescente nessa faixa do domínio. Com isso, ela sempre vai ser diferente de 0. Portanto pelo teorema da função inversa ela é inversível.
A função vai ser inversível para .
Passo 2
Para determinar temos que procurar quando a função valerá
Isso pode acontecer em duas regiões: e
Não faz muito sentido olhar para esse segundo caso se não conhecemos o valor de . Então vamos focar em achar um que gere:
Na malandragem, eu fui usando alguns valores de bons de mexer, como e . Como a função é decrescente em toda essa região, como vimos na letra , se acharmos um que satisfaça esse será o único valor possível para solucionar a questão.
Por tentativa, descobriremos :
Logo,
Passo 3
Pelo derivada da Inversa, teremos:
Derivamos , fica assim:
Usando ficará:
Logo,
Passo 4
Para a função ser inversível para todo real, ela deve ser inversível nos seus dois domínios: para e para . Já provamos na que isso vale para . Vamos olhar o outro domínio.
A função aqui é
Para que seja inversível em todo o domínio precisamos ter . Nessa região a derivada é dada por:
Rapaz, repara, posso chutar qualquer valor de ali nesse cara, mas eu vou ter sempre essa derivada zerando em . No resto domínio, ela manterá o mesmo sinal de , sempre para .
Agora, em supondo algum valor de que faça da função contínua, poderíamos fazer as derivadas laterais e igualá-las:
Não importa o lado, em ambas zeram.
Enfim, a conclusão é que nenhum satisfaz isso!