Regras de Derivação II
Seja :
Determine o domínio de ;
é inversível? Se for, qual o domínio da inversa de ?
Determine .
Passo 1
A única limitação para o domínio de é que os termos dentro do logaritmo devem ser positivos. Sendo assim:
A interseção entre e é . Assim, o domínio da nossa função é:
Passo 2
Vamos derivar a função :
Sabemos que, para , será sempre positiva. Concluímos com isso que é uma função estritamente crescente, o que nos garante que ela será injetora e inversível, portanto.
Para saber o domínio da inversa podemos analisar a imagem de , já que serão iguais. Como temos que
Notamos que a imagem de é o conjunto do números reais, bem como o domínio de sua inversa.
Passo 3
Por definição, a derivada da inversa é dada por:
Olha, como temos que , vemos que
Portanto, como já temos que , ficamos com o seguinte: