UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 3.3.1b
Considere a função .
(b) Determine .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar , ou seja, precisamos determinar a derivada da função inversa aplicada em .
Pra determinar a inversa dessa função, nós precisaríamos escrever e isolar na função, de modo que teríamos . Mas repare que isolar nessa função não é possível. Então, como a gente vai determinar o conjunto onde a inversa existe? Ainda bem que pra nos salvar, existe o Teorema da Função Inversa, que diz que se é derivável e , então tem inversa e temos:
Sendo assim, vamos calcular a derivada da nossa função e verificar o valor de .
Vamos lá!
Passo 2
Derivando , usando a regrinha da potência (), temos:
Como a derivada da função é sempre positiva, isso garante que exista a função inversa, pelo Teorema. Além disso, quando , teremos em :
Fatorando:
Pra que esse produto seja verdade precisamos ter ou . Só que esse segundo termo não tem solução em . Então, teremos apenas:
Assim, e .
Passo 3
Mas calma que ainda não acabou, porque a gente quer a derivada da inversa nesse ponto, pra isso vamos usar a relação:
Para e , teremos:
Encontrando em , temos:
Então, nossa inversa será:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉