UFCG – Cálculo Diferencial e Integral I – Listas Cálculo 1 - UAMat – Lista 2 - Derivadas – 17d
Determine a derivada:
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos responder essa questão.
O enunciado nos deu uma função trigonométrica inversa e pediu pra gente calcular a derivada dela. Lembra como a gente faz isso?
Calma, primeiro vamos lembrar que uma função inversa é uma função que faz o inverso da função . Então, se a inversa vai ser:
Tendo a função nessa forma, fica mais fácil derivar né? Porque nós conhecemos a derivada da função trigonométrica e a derivada de .
Assim, o que nós vamos fazer é derivar essa expressão dos dois lados, encontrar um e colocar em função de , depois aplicar o resultado na nossa função. Vamos fazendo que vai ficar mais claro! 😉
Passo 2
Da função , derivando dos dois lados, temos:
Repara que surge um ali, porque a gente faz a derivada da função de fora vezes a derivada do argumento (pela regra da Cadeia). Assim, isolando , nós temos:
Mas a gente quer que essa derivada fique em função de , não de . Então, o que nós podemos fazer é usar a identidade trigonómetrica:
Isolando :
Mas lembra que no passo nós definimos ? Então, substituindo:
Jogando isso lá na nossa derivada:
Essa é nossa “fórmula geral” pra derivada da inversa da função Só que o enunciado nos deu , então a gente a multiplicação de uma função exponencial e uma trigonométrica inversa . Será que dá pra calcular a derivada do mesmo jeito?
Passo 3
Bom, como nós temos uma multiplicação de funções, nós precisamos usar a regra do produto na derivação, que diz que:
No nosso caso, vamos chamar e . Então aplicando a regra, nós temos:
Pra calcular a derivada de nós precisamos aplicar a regra da Cadeia (deriva a função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro). É como se a gente fizesse:
Só que a nossa função é , então vamos aplicar o expoente correto:
Beleza, e a derivada de ?
Passo 4
Lembra que nos passo , para , nós encontramos:
Para o resultado não vai ser muito diferente, basta a gente substituir ali no lugar do :
Calculando a derivada de em cima e elevando ao quadrado embaixo, temos:
Mas calma que esse ainda não é o nosso resultado, tá? Falta pegar a derivada de ali em cima e juntar tudo na regra do produto:
Arrumando nosso resultado um pouquinho, fica:
Prontinho, encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉